Question

【題目】如圖BC是位于豎直平面內(nèi)的一段光滑的圓弧軌道，圓弧軌道的半徑為r＝3m，圓心角θ＝53°，圓心O的正下方C與光滑的水平面相連接，圓弧軌道的末端C處安裝了一個(gè)壓力傳感器。水平面上靜止放置一個(gè)質(zhì)量M＝1kg的木板，木板的長度l＝2m，木板的上表面的最右端放置一個(gè)靜止的小滑塊P1，小滑塊P1的質(zhì)量m1未知，小滑塊P1與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2。另有一個(gè)質(zhì)量m2＝1kg的小滑塊P2，從圓弧軌道左上方的某個(gè)位置A處以某一水平的初速度拋出，恰好能夠沿切線無碰撞地從B點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道，滑到C處時(shí)壓力傳感器的示數(shù)為N，之后滑到水平面上并與木板發(fā)生彈性碰撞且碰撞時(shí)間極短。（不計(jì)空氣阻力，重力加速度g＝10m/s2，cos53°＝0.6）。求：

（1）求小滑塊P2經(jīng)過C處時(shí)的速度大小；

（2）求位置A與C點(diǎn)之間的水平距離和豎直距離分別是多少？

（3）假設(shè)小滑塊P1與木板間摩擦產(chǎn)生的熱量為Q，請(qǐng)定量地討論熱量Q與小滑塊P1的質(zhì)量m1之間的關(guān)系。

Answer 1

【答案】（1）7m/s（2）3.6m，2m（3）Q= 或 Q=4m1

【解析】

(1)根據(jù)牛頓第三定律可知小塊P2滑到C處受到的支持力F=N，由牛頓第二定律得：

代入數(shù)據(jù)解得：

(2)設(shè)P2在B處的速度為vB，從B到C的過程中，由動(dòng)能定理得：

其中：

代入數(shù)據(jù)解得：

因?yàn)樾』瑝K恰好能夠沿切線無碰撞的從B點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道，可知平拋的初速度為：

在B點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度為：

則從A到B的時(shí)間為：

所以AC之間的水平距離為：

AC之間的豎直距離為：

(3)P2與木板發(fā)生彈性碰撞，假設(shè)碰后小滑塊P2的速度為v2、木板速度為v1，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒可知：

代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：，

木板獲得速度之后，和上面的小滑塊P1之間相對(duì)滑動(dòng)，假設(shè)最終和木板之間相對(duì)靜止，兩者的共同速度為v共，小滑塊P1在模板上相對(duì)滑動(dòng)了x，由動(dòng)量守恒和能抗守恒可知：

聯(lián)立解得：

.

當(dāng)時(shí)，.

若，則，滑塊不會(huì)從模板上掉落，小滑塊P1與木板間產(chǎn)生的熱量為：

若，則，滑塊會(huì)從木板上掉落，小滑塊P1與木板間的摩擦產(chǎn)生的熱量為：

答：(1)小滑塊P2經(jīng)過C處時(shí)的速度大小；

(2)位置A與C點(diǎn)之間的水平距離和豎直距離分別是3.6m和2m；

(3)熱量Q與小滑塊P1的質(zhì)量m1之間的關(guān)系為Q= 或 Q=4m1。