Question

9．如圖（1）所示，一根輕彈簧上端固定，下端懸掛一個質(zhì)量為m的A，彈簧的勁度系數(shù)為k，用手豎直向上托起砝碼A，使砝碼A靜止于某一初始位置，此時彈簧處于壓縮狀態(tài)，如圖23（2）所示．現(xiàn)改變手對砝碼A的作用力，使A以某一加速度做豎直向下的勻加速直線運動．已知砝碼A向下做勻加速直線運動時，加速度的數(shù)值恰好等于在初始位置時突然撤去手的瞬時砝碼A加速度數(shù)值的一半．設(shè)在砝碼A的運動過程中，彈簧始終未超過其彈性限度．若手對砝碼A的作用力未改變方向前，砝碼A向下做勻加速直線運動的最大距離是S．則：
（1）砝碼A做勻加速直線運動的加速度a=$\frac{kS}{m}$；
（2）通過距離S所用的時間t$\sqrt{\frac{2m}{k}}$．

Answer 1

分析 突然撤去手的瞬時，根據(jù)牛頓第二定律列式．設(shè)突然撤去手的瞬時，砝碼A向下運動的加速度為a，砝碼A向下做勻加速直線運動的加速度 a′=$\frac{a}{2}$，在手對砝碼A作用力的方向即將改變的瞬時，手對砝碼的作用力為零．分兩種情況討論：
（1）若a′≥g，則手對砝碼A的作用力為零時，彈簧長度未超過原長，根據(jù)牛頓第二定律求出手對砝碼A的作用力為零時彈簧的壓縮量，得到砝碼A向下運動的距離，求出A的加速度，再由位移公式求時間．
（2）若$\frac{g}{2}$＜a′＜g，則手對砝碼A的作用力為零時，彈簧長度已超過原長，用同樣的方法求解．

解答 解：設(shè)突然撤去手的瞬時，砝碼A向下運動的加速度為a．
（1）設(shè)初始時刻彈簧的壓縮量為x，研究非砝碼A，由牛頓第二定律有：
kx+mg=ma
得：x=$\frac{m（a-g）}{k}$
由已知條件知，砝碼A向下做勻加速直線運動的加速度 a′=$\frac{a}{2}$，在手對砝碼A作用力的方向即將改變的瞬時，手對砝碼的作用力為零．
若a′≥g，則手對砝碼A的作用力為零時，彈簧長度未超過原長，設(shè)此時彈簧壓縮量為x′，有：
kx′+mg=ma′
可得：x′=$\frac{m（\frac{a}{2}-g）}{k}$
砝碼A向下運動的距離為：
S=x-x′=$\frac{ma}{2k}$=$\frac{ma′}{k}$
砝碼A向下做勻加速直線運動的加速度為：
a′=$\frac{kS}{m}$
根據(jù)S=$\frac{1}{2}a′{t}^{2}$，得砝碼A向下做勻加速直線運動時間為：
t=$\sqrt{\frac{2S}{a′}}$=$\sqrt{\frac{2m}{k}}$
若$\frac{g}{2}$＜a′＜g，則手對砝碼A的作用力為零時，彈簧長度已超過原長，設(shè)此時彈簧伸長量為x″，有：
mg-kx″=ma′
得：x″=$\frac{m（g-\frac{a}{2}）}{k}$
有：S=x+x″=$\frac{ma}{2k}$=$\frac{ma′}{k}$
因此，此時砝碼A向下做勻加速直線運動的加速度為：
a′=$\frac{kS}{m}$
時間仍為：t=$\sqrt{\frac{2S}{a′}}$=$\sqrt{\frac{2m}{k}}$
故答案為：（1）$\frac{kS}{m}$；（2）$\sqrt{\frac{2m}{k}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵是明確牛頓第二定律可研究某一狀態(tài)的加速度，要抓住題中隱含的臨界狀態(tài)：在手對砝碼A作用力的方向即將改變的瞬時，知道此時手對砝碼的作用力為零．要找出A運動的位移與彈簧形變量的關(guān)系．