Question

如圖為宇宙中有一個恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O運行軌道近似為圓，天文學家測得A行星運動的軌道半徑為R₀，周期為T₀．

(1)中央恒星O的質(zhì)量是多大？

(2)長期觀察發(fā)現(xiàn)，A行星實際運動的軌道與圓軌道總存在一些偏差，且周期性地每隔t₀時間發(fā)生一次異動，天文學家認為：形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外還存在著一顆未知的行星B(假如其運動軌道與A在同一平面內(nèi)，其與A的繞行方向相同)，它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離(整體上，A軌跡仍可視為圓軌道，如圖)．根據(jù)上述現(xiàn)象及假設，請你對未知行星B運動的周期和半徑做出定量的預測．

Answer 1

答案：
解析：

解：求周期T0： 　　由題意可知，A、B相距最近時B對A的影響最大，且每隔t0時間相距最近，這時A行星恰好比B行星多運行了一圈即2π． 　　法一：由，解得． 　　法二：設B行星周期為TB，則有，解得． 　　求半徑R0： 　　法一：設B的行星質(zhì)量為m/，運行的軌道半徑為RB，則有，解得 　　法二：由開普勒第三定律：，解得