Question

15．平時擦玻璃時，我們經(jīng)常會用到如圖甲所示的“魔力刷”．使用時，兩個一樣的刷子分別位于玻璃窗戶玻璃板的兩側(cè)，兩刷子靠磁鐵的吸引力吸在玻璃上，當(dāng)移動其中一塊刷子時，另一塊刷子會跟到移動，達到同時清潔玻璃內(nèi)外側(cè)的目的．已知：某種品牌玻璃刷的每個刷子的質(zhì)量都為m，與玻璃的滑動摩擦因數(shù)均為μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度取g．

（1）將其中一個刷子用與豎直方向成θ=$\frac{π}{3}$的推力壓在豎直玻璃上，如圖乙所示，現(xiàn)要把刷子沿豎直方向向上推動，求推力的最小值
（2）把兩個刷子對齊分別放在豎直玻璃板的兩側(cè)，如圖丙所示，現(xiàn)用與豎直方向成α=$\frac{π}{3}$，大小為F₀=6mg的拉力向下拉動內(nèi)側(cè)的刷子時，外側(cè)刷子將立即跟著移動且很快與內(nèi)側(cè)刷子保持相對靜止．此時刷子磁鐵間的吸引力在垂直玻璃板面方向的分量恒為6$\sqrt{3}$mg，求刷子間的磁鐵吸引力在沿玻璃板面切線方向的分量．
（3）假設(shè)玻璃是邊長為L的正方形，刷子是邊長為d的正方形；當(dāng)兩刷子的正對面積大于一半時，刷子磁鐵間的吸引力的垂直分量和切向分量均不變，當(dāng)兩刷子的正對面積小于或等于一半時，兩刷子就無法吸引在一起．在（2）的情況下，若拉力方向不變，大小變?yōu)?\frac{271}{45}$mg，要使一次性向下拉動刷子就可以完成清理玻璃的豎邊，求$\frac{L}fnjbmlo$的取值范圍．

Answer 1

分析 對刷子受力分析，正交分解，根據(jù)平衡條件求推力F的大��；
分別對左右兩側(cè)磁刷受力分析，正交分解，根據(jù)平衡條件列方程求解

解答 解：（1）如圖由受力分析知：

水平方向Fsinα=F_N①；
豎直方向：Fcosα=G+μF_N②．
由①②得F=4mg
（2）設(shè)磁力刷垂直玻璃板方向的分力為F₂，切向方向的分力為F₁．
如圖對左右兩刷子受力分析可知：

左側(cè)磁刷：水平方向F_N1=F₂③；
豎直方向G+F₁-μF_N1=ma④；
右側(cè)磁刷：水平方向F₂=F₀sinθ+F_N2⑤；
豎直方向G+F₀cosθ-F₁-μ（F₂-F₀sinθ）=ma⑥；
由③④⑤⑥得a=$\frac{g}{4}$；
F₁=$\frac{9mg}{4}$
（3）因為F=$\frac{271}{45}$mg＞6mg，
所以左側(cè)磁刷a₁=$\frac{g}{4}$ ⑦，
右側(cè)磁刷a₂=$\frac{G+Fcosθ-{F}_{1}-μ（{F}_{2}-Fsinθ）}{m}$=$\frac{4}{15}$g⑧
由運動分析知：右側(cè)磁刷從上到下運動的位移x₂=L-d=$\frac{1}{2}$a₂t²⑨；
當(dāng)右側(cè)到達下面時，左側(cè)磁刷運動的位移x₁=L-$\frac{3}{2}$d=$\frac{1}{2}$a₁t²=10 ⑩，
由⑦⑧⑨⑩得$\fracgdkvyqx{L}$=$\frac{1}{9}$
答：
（1）推力的最小值為4mg；
（2）刷子間的磁鐵吸引力在沿玻璃板面切線方向的分量為$\frac{9}{4}$mg．
（3）$\fraccrcupdc{L}$的取值范圍為$\fracijmtwrf{L}$≤$\frac{1}{9}$．

點評 本題屬于實際問題，關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的物理模型，考查了建模能力，是一道考查能力的好題．