Question

如圖，光滑半圓形軌道半徑為R，水平面粗糙，彈簧自由端D與軌道最低點(diǎn)C距離為4R，一質(zhì)量為m的可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊自圓軌道中點(diǎn)B由靜止釋放，壓縮彈簧后被彈回到D點(diǎn)恰好靜止．已知物塊與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2：重力加速度為g，彈簧始終處在彈性限度內(nèi)，求：
（1）彈簧的最大壓縮量和最大彈性勢(shì)能
（2）現(xiàn)把D點(diǎn)右側(cè)水平地面打磨光滑，且已知彈簧壓縮時(shí)彈性勢(shì)能與壓縮量的二次方成正比，使小物塊壓縮彈簧，釋放后能通過(guò)半圓軌道最高點(diǎn)A，壓縮量至少是多少？

Answer 1

分析：（1）對(duì)小物塊從B到壓縮到最右端再返回到D點(diǎn)為研究過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理求出彈簧的最大壓縮量．從壓縮量最大位置到返回原長(zhǎng)的過(guò)程中，彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求出最大彈性勢(shì)能．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出通過(guò)最高點(diǎn)A的最小速度，抓住彈簧壓縮時(shí)彈性勢(shì)能與壓縮量的二次方成正比，從彈簧壓縮的位置到A點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理，求出壓縮量的大�。�

解答：解：（1）設(shè)最大壓縮量為x，最大彈性勢(shì)能為E_P，由動(dòng)能定理得
 mgR-μmg（4R+2x）=0          ①
得  x=0.5R                  ②
返回過(guò)程彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能 E_P=μmgx           ③
得    E_P=0.1mgR              ④
故彈簧的最大壓縮量為0.5R，最大彈性勢(shì)能為0.1mgR．
（2）設(shè)壓縮量至少為x′，相應(yīng)的彈性勢(shì)能為E_P′
  

EP′

EP

=

x′2

x2

                        ⑤
  mg=m

vA2

R

                       ⑥
EP′-μmg?4R-mg?2R=

1

2

mvA2      ⑦
聯(lián)立⑤⑥⑦解得  x′=

33

2

R          ⑧
故壓縮量至少是

33

2

R．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理和能量守恒定律，解決本題的關(guān)鍵靈活選取研究的過(guò)程，選用適當(dāng)?shù)囊?guī)律進(jìn)行求解．