Question

如圖所示，在水平方向，與紙面垂直的足夠大的勻強磁場中，有一足夠長的U 形金屬框架abcd以v₁=2m/s的速度向右做切割磁感線運動，在框架abcd上下兩板內(nèi)產(chǎn)生一個勻強電場．有一個帶電油滴以水平速度v₂從P點（

.

ap

=

L

2

）向左射入框架內(nèi)做勻速圓周運動（g=10m/s²）．求：
（1）油滴必須帶什么性質(zhì)的電荷？油滴做勻速圓周運動的周期是多少？
（2）為使油滴不跟框架壁相碰，油滴速度v₂和框架寬度L的比值

v2

L

應(yīng)滿足什么條件？
（3）為使油滴不離開電場，并且能夠在框架中完整地運動一周，速度v₂ 與v₁要滿足什么關(guān)系？（只需列出關(guān)系式，無需化簡）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)右手定則判斷上下極板電勢的高低，抓住油滴電場力和重力平衡確定電荷的電性．根據(jù)粒子電場力和重力平衡，以及油滴做圓周運動的周期公式求出油滴的周期．
（2）根據(jù)帶電粒子在磁場中半徑公式求出粒子做圓周運動的半徑，結(jié)合粒子做圓周運動的直徑小于

L

2

，求出油滴速度v₂和框架寬度L的比值

v2

L

應(yīng)滿足的條件．
（3）油滴順時針旋轉(zhuǎn)，若v₂的水平分速度大小等于v₁時，油滴不離開電場，則不離開框架，結(jié)合幾何關(guān)系以及速度的關(guān)系求出速度v₂ 與v₁要滿足的關(guān)系．

解答：解：（1）由右手定則判斷上、下極板電勢的高低，再由油滴的重力與力平衡可知油滴帶負(fù)電．                           ①
兩極間電壓U=BLv₁，板間場強E=

U

L

=Bv₁                 
油滴做勻速圓周運動  mg=qE=qBv₁　                  　
所以B=

mg

qv1

②
油滴做勻速圓周運動的周期為：
T=

2πm

Bq

=

2πmqv1

qmg

=

2πv1

g

=

2π

5

s                   ③
（2）油滴做勻速圓周運動：
Bqv₂=

m v 2 2

R

R=

mv2

qB

=

mv2

q

?

qv1

mg

=

v1v2

g

④
油滴不與框相碰應(yīng)滿足條件：2R＜

L

2

即

2v1v2

g

＜

L

2

所以

v2

L

＜

g

4v1

=1.25（s^-1）                           ⑤
（3）油滴順時針旋轉(zhuǎn)，若v₂的水平分速度大小等于v₁時，見圖所示，油滴末離開電場，則不離開框架．
v₂sinθ=v₁                       ⑥
t=

3 2 π-θ

ω

=

( 3 2 π-θ)R

v2

⑦
又v₁t＞Rcosθ                    ⑧
∴v₁ （

3

2

π-θ）＞v₂cosθ
即v₁（

3

2

π-arcsin

v1

v2

）＞

v 2 2 - v 2 1

⑨
答：（1）油滴帶負(fù)電，油滴做勻速圓周運動的周期為

2π

5

s．
（2）為使油滴不跟框架壁相碰，油滴速度v₂和框架寬度L的比值

v2

L

應(yīng)滿足

v2

L

＜

g

4v1

=1.25（s^-1）．
（3）速度v₂ 與v₁要滿足v₁（

3

2

π-arcsin

v1

v2

）＞

v 2 2 - v 2 1

．

點評：解決本題的關(guān)鍵知道粒子在復(fù)合場中重力和電場力平衡，靠洛倫茲力提供向心力，結(jié)合粒子在磁場中運動的半徑公式和周期公式進行求解．