Question

鮮蛋儲運(yùn)箱中有光滑的塑料蛋托架,架上有整齊排列的卵圓形凹槽,將蛋放在槽中,可避免互相擠壓、碰撞并能減震。假設(shè)蛋和槽的橫截面為球形,如圖所示。圖中O為圓心,A、B兩點(diǎn)為水平槽口,α角為半徑OA與水平線AB的夾角。

(1)已知蛋的質(zhì)量為m,當(dāng)運(yùn)蛋的汽車以加速度a向前加速前進(jìn)時(設(shè)此時蛋仍在槽內(nèi)),槽對蛋的作用為力多大?

(2)已知汽車輪胎與柏油路面間的動摩擦因數(shù)為μ,當(dāng)運(yùn)蛋的汽車緊急剎車時,為避免蛋從槽內(nèi)滾出,圖中α應(yīng)滿足什么條件?(可用三角函數(shù)表示)

Answer 1

解：本題中的蛋與凹槽的接觸面為曲面,接觸面上每一點(diǎn)均對蛋產(chǎn)生支持力。當(dāng)凹槽靜止或勻速運(yùn)動時,曲面對蛋的支持力豎直向上。當(dāng)凹槽加速運(yùn)動時,曲面對蛋的支持力將偏離豎直方向,偏轉(zhuǎn)角度的大小與加速度大小有關(guān)。當(dāng)加速度增大到某一數(shù)值時,只有凹槽的A點(diǎn)或B點(diǎn)對蛋有作用力,力將偏離豎直方向(90°-α)的角,這時蛋處于將要從槽中滾出而又未滾出的臨界狀態(tài)。

(1)鮮蛋受兩個力的作用：重力mg、槽對蛋的作用力F,其合力為ma,如圖甲所示。則槽對蛋的作用力

F=m。

(2)由題圖得,當(dāng)槽對蛋的作用力F的方向與水平方向間的夾角超過α?xí)r,蛋將從槽中滾出的臨界情況如圖乙所示。

即為避免蛋從槽中滾出,應(yīng)有cotα＞

汽車緊急剎車時,取整個汽車為研究對象,其所受摩擦力使汽車做減速運(yùn)動,有：μMg=Ma

綜合以上兩式得α應(yīng)滿足的條件是cotα＞μ。