Question

1．已知地球半徑為R₀，地球表面重力加速度為g₀，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響．
（1）推導(dǎo)第一宇宙速度v₁的表達(dá)式；
（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是衛(wèi)星在近地圓軌道上的環(huán)繞速度，重力等于萬有引力，引力等于向心力，列式求解；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力即可求解．

解答 解：（1）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，在地球表面物體所受重力等于地球?qū)ξ矬w的引力
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$ 
整理得G M=R ²g     ①
衛(wèi)星在地表附近做勻速圓周運(yùn)動受到的萬有引力提供向心力
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$②
①式代入 ②式，得到 v₁=$\sqrt{gR}$
（2）若衛(wèi)星在距地面高為h上空做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，所受到的萬有引力為：
   $F=\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$ ③
由牛頓第二定律：
$F=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$ ④
①、③、④聯(lián)立解得
T=$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$
答：（1）地球第一宇宙速度的表達(dá)式v₁=$\sqrt{gR}$；
（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)行軌道距離地面高度為h，衛(wèi)星的運(yùn)行周期T的表達(dá)式T=$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$．

點(diǎn)評 衛(wèi)星所受的萬有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是衛(wèi)星類問題必須要考慮的問題，本題根據(jù)這兩個(gè)關(guān)系即可列式求解．