Question

如圖甲所示，MN為一豎直放置的足夠大的熒光屏，O為它的中點(diǎn)，OO′與熒光屏垂直，且長度為l．在MN的左側(cè)O′O空間內(nèi)存在著方向豎直向下的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E．乙圖是從甲圖的左側(cè)去看熒光屏得到的平面圖，在熒光屏上以O(shè)為原點(diǎn)建立如釁乙的直角坐標(biāo)系．一細(xì)束質(zhì)量為m、電荷為e的電子以相同的初速度v₀從O′點(diǎn)O′O方向射入電場區(qū)域．電子的重力和電子間的相互作用都可忽略不計．
（1）求電子打在熒光屏上亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)．
（2）若在MN左側(cè)O′O空間內(nèi)再加一個勻強(qiáng)磁場，使得熒光屏上的亮點(diǎn)恰好位于原點(diǎn)O處，求這個磁場的感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向．
（3）如果保持（2）問中磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，但把電場撤去，粒子仍能達(dá)到熒光屏上，求熒光屏上的亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)及從O′到熒光屏所需要的時間（若sinθ=

c

d

，則θ可用反三角函數(shù)表示為θ=arsin

c

a

）．

Answer 1

分析：（1）電子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動，沿水平方向和豎直方向分解運(yùn)動即可；
（2）亮點(diǎn)恰好位于原點(diǎn)O處，表明電子所受的電場力與洛倫茲力大小相等，寫出力的平衡方程，代入數(shù)據(jù)即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）只在磁場作用下，電子在O′Oy平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，畫出運(yùn)動的軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出半徑的表達(dá)式，再結(jié)合圖象，找出半徑對應(yīng)的幾何關(guān)系，列出方程，即可解題．

解答：解：（1）電子沿O′O方向做勻速運(yùn)動：l=v₀t…①
電子沿y軸方向做勻加速運(yùn)動：y=

1

2

at2=

eEl2

2m v 2 0

…②
即亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)為：(0，

eEl2

2m v 2 0

)…③
（2）亮點(diǎn)恰好位于原點(diǎn)O處，表明電子所受的電場力與洛倫茲力大小相等，電子做勻速直線運(yùn)動eE=ev₀B…④
解得  B=

E

v0

…⑤
由電場力以及左手定則判定磁場方向垂直紙面向里．
（3）只在磁場作用下，電子在O′Oy平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，軌跡如圖所示．設(shè)圓半徑為R，洛倫茲力提供向心力ev0B=

m v 2 0

R

…⑥

得：R=

mv0

eB

=

m v 2 0

eE

根據(jù)幾何關(guān)系R²-l²=（R-y）²…⑦
得y=R-

R2-l2

聯(lián)立⑥、⑦得：y=

m v 2 0

eE

-

( m v 2 0 eE )2-l2

…⑧
即亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)為(0，

m v 2 0

eE

-

( m v 2 0 eE )2-l2

)… ⑨
由圖可得：sinθ=

l

R

=

eEl

m v 2 0

，θ=arcsin

eEl

m v 2 0

…⑩
由圓周運(yùn)動周期公式：T=

2πR

v0

…（11）
電子從O′到O的時間為：t=

θ

2π

T=

mv0

eE

arcsin

eEl

m v 2 0

答：（1）電子打在熒光屏上亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)(0，

eEl2

2m v 2 0

)．
（2）這個磁場的感應(yīng)強(qiáng)度  B=

E

v0

磁場方向垂直紙面向里．
（3）熒光屏上的亮點(diǎn)的位置坐標(biāo) (0，

m v 2 0

eE

-

( m v 2 0 eE )2-l2

)，從O′到熒光屏所需要的時間t=

mv0

eE

arcsin

eEl

m v 2 0

．

點(diǎn)評：該題設(shè)置了三種不同的情景，第3問的難度較大，解題的關(guān)鍵是正確畫出運(yùn)動的軌跡，找出半徑與l之間的關(guān)系．