Question

如圖所示，質(zhì)量分別為2m和3m的兩個小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點O處有光滑的固定轉(zhuǎn)動軸．AO、BO的長分別為2L和L．開始時直角尺的AO部分處于水平位置而B在O的正下方．讓該系統(tǒng)由靜止開始自由轉(zhuǎn)動，（sin37°=0.6），不計直角尺的質(zhì)量，求：
（1）當A到達最低點時，A小球的速度大小v；
（2）B球能上升的最大高度h；
（3）要使直角尺能繞轉(zhuǎn)軸O順時針方向轉(zhuǎn)動，需要對該系統(tǒng)做功．則至少要對該系統(tǒng)做多少功？

Answer 1

分析：（1）A、B兩個球組成的系統(tǒng)機械能守恒，根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒列式可以求得A、B速度之間的關(guān)系，同時由于AB是同時轉(zhuǎn)動的，它們的角速度的大小相同，由v=ωr得到兩球速度大小關(guān)系．聯(lián)立即可求解v．
（2）B球到達最大高度時速度一定為零，根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒求解最大高度h．
（3）轉(zhuǎn)動過程中系統(tǒng)的總重力勢能最大時，總動能最�。�要使直角尺能繞轉(zhuǎn)軸O順時針方向轉(zhuǎn)動，系統(tǒng)應(yīng)轉(zhuǎn)過動能最小處．根據(jù)功能關(guān)系進行分析求解．

解答：解：以直角尺和兩小球組成的系統(tǒng)為對象，由于轉(zhuǎn)動過程不受摩擦和介質(zhì)阻力，所以該系統(tǒng)的機械能守恒．
（1）過程中A、B轉(zhuǎn)動的角速度始終相同，由v=ωr得，v_A=2v_B
由系統(tǒng)的機械能守恒得△E_PA=△E_KA+△E_KB+△E_PB
即：2mg?2L=3mg?L+

1

2

?2m?v2+

1

2

?3m?

v

2 B

解得   v=

8gL 11

（2）B球不可能到達O的正上方，它到達最大高度時速度一定為零，設(shè)該位置位于OA桿豎直位置向左偏了α角．如圖所示（2）．則有
2mg?2Lcosα=3mg?L（1+sinα）       
此式可化簡為   4cosα-3sinα=3
解得 sin（53°-α）=sin37°，α=16°    
所以B球能上升的最大高度h=L+Lsin16°=L+Lsin（53°-37°）
解得h=1.28L
（3）轉(zhuǎn)動過程中系統(tǒng)的重力勢能最大時，動能最�。�要使直角尺能繞轉(zhuǎn)軸O順時針方向轉(zhuǎn)動，系統(tǒng)應(yīng)轉(zhuǎn)過動能最小處．如圖（3）所示．
取OA桿的初始位置為零勢能參考點，則如圖（3）所示處系統(tǒng)的重力勢能威者E_P=2mg?2Lcosθ+3mg?Lsinθ
此式可化簡為E_P=mgL（4cosθ+3sinθ）≤5mgL
系統(tǒng)的重力勢能最大值E_P=5mgL
系統(tǒng)位于初始位置的重力勢能E_P0=-3mg?L
由功能觀點有：W=△E_P增
則得W=E_P-E_P0=8mgL
至少要對該系統(tǒng)做功W=8mgL
答：
（1）當A到達最低點時，A小球的速度大小v是

8gL 11

；
（2）B球能上升的最大高度h是1.28L；
（3）要使直角尺能繞轉(zhuǎn)軸O順時針方向轉(zhuǎn)動，需要對該系統(tǒng)做功．則至少要對該系統(tǒng)做8mgL的功．

點評：本題是系統(tǒng)的機械能守恒問題，要抓住兩球的角速度相等，分析線速度關(guān)系，難度較大．