Question

20．環(huán)狀空心的細(xì)金屬管道質(zhì)量為M，不計(jì)一切摩擦．
（1）將管道豎直固定，管內(nèi)底部有一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球（如圖甲），若小球初速度為v₀，小球恰能通過最高點(diǎn)，此時(shí)球受到管道壁的彈力大小為$\frac{Mg}{2}$，小球的質(zhì)量大小為多少？環(huán)的半徑R為多少（與環(huán)的半徑相比，管的粗細(xì)可不計(jì)）？
（2）現(xiàn)將管道水平放置在光滑水平面上，管直徑兩端A、B處有兩個(gè)與第一問完全相同的小球（如圖乙），初速度仍均為v₀，當(dāng)兩球相遇時(shí)，小球速度大小為多少？
（3）緊接上問，若兩球發(fā)生完全彈性碰撞，則當(dāng)兩小球分別回到AB處時(shí)，管道的速度大小為多少？

Answer 1

分析 （1）對小球受力分析，由合力充當(dāng)向心力列式可求得質(zhì)量關(guān)系；由機(jī)械能守恒可求得環(huán)的半徑；
（2）兩小球在水平方向動量守恒，由動量守恒定律及機(jī)械能守恒定律可求得小球的速度；
（3）小球在返回過程，機(jī)械能守恒，環(huán)和球的總動量守恒；分別由兩守恒定律列式，聯(lián)立可解得速度；

解答 解：
（1）恰能過最高點(diǎn)  N=mg   
由題知：N=$\frac{1}{2}$Mg
解得：m=$\frac{1}{2}$M
由機(jī)械能守恒定律知 $\frac{1}{2}$mv₀²=mg2R
解得：R=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g}$  
（2）設(shè)向右為正方向；沿運(yùn)動方向動量守恒由動量守恒，得2mv₀=（M+2m）v_x
$\frac{1}{2}$×2mv₀²=$\frac{1}{2}$×Mv_x²+$\frac{1}{2}$×2mv²
解得：v=$\frac{\sqrt{3}}{2}$v₀
（3）兩球分別回到AB處時(shí)管道的速度為v₁球的速度為v₂
由能量守恒，得$\frac{1}{2}$×2mv₀²=$\frac{1}{2}$×Mv₁²+$\frac{1}{2}$×2mv₂²
由動量守恒得，得：2mv₀=Mv₁+2mv₂
列立解得v₁=v₀；
v₂=0
答：（1）小球的質(zhì)量為$\frac{M}{2}$；環(huán)的半徑R為$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g}$；
（2）小球速度大小為$\frac{\sqrt{3}}{2}$v₀
（3）管道的速度為v₀．

點(diǎn)評 本題考查動量守恒和機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，要注意正確受力分析，明確物理過程，再根據(jù)動量守恒和機(jī)械能守恒定律列式求解即可．