Question

11．如圖所示，半徑為R的光滑半圓軌道放置于豎直平面內(nèi)，質(zhì)量均為m的兩小球都從軌道最高點(diǎn)P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，小球as從靜止開(kāi)始沿軌道下滑，小球b以某一初速度水平拋出，一段時(shí)間后落到半圓軌道的最低點(diǎn)Q，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 小球b剛落到Q點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\frac{\sqrt{5gR}}{2}$
• B． 小球b剛落到Q點(diǎn)時(shí)重力的瞬時(shí)功率為mg$\sqrt{2gR}$
• C． 從P到Q，小球a所需時(shí)間小于小球b所需時(shí)間
• D． 從P到Q，小球a重力做功的最大功率為$\frac{2}{3}$$\sqrt{\sqrt{3}gR}$

Answer 1

分析 根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合水平位移和時(shí)間求出初速度，根據(jù)速度時(shí)間公式求出落到Q點(diǎn)的豎直分速度，結(jié)合平行四邊形定則求出平拋運(yùn)動(dòng)落到Q點(diǎn)的速度．根據(jù)瞬時(shí)功率的公式，結(jié)合落到Q點(diǎn)的豎直分速度，求出重力的瞬時(shí)功率．對(duì)于小球a，求出下落h時(shí)的速度，結(jié)合功率公式求出瞬時(shí)功率的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解最大功率．

解答 解：A、小球b做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，則平拋運(yùn)動(dòng)的初速度${v}_{0}=\frac{R}{t}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$，小球落到Q點(diǎn)的豎直分速度${v}_{y}=gt=\sqrt{2gR}$，根據(jù)平行四邊形定則知，小球落到Q點(diǎn)的速度v_Q=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{\frac{gR}{2}+2gR}=\sqrt{\frac{5gR}{2}}$，故A錯(cuò)誤．
B、小球b落到Q點(diǎn)時(shí)重力的瞬時(shí)功率P=$mg{v}_{y}=mg\sqrt{2gR}$，故B正確．
C、小球a由靜止下滑做圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)Q點(diǎn)下降的高度也為R，時(shí)間一定大于自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，故C錯(cuò)誤．
D、設(shè)下降的高度為h時(shí)，速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理得，$mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\sqrt{2gh}$，方向沿切線方向，根據(jù)幾何關(guān)系知，速度方向與豎直方向夾角的余弦cosα=$\frac{\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}{R}$，則重力的瞬時(shí)功率P=mgvcosα=mg$•\sqrt{2gh}$$\frac{\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}{R}$，根據(jù)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)求極值的方法知，當(dāng)h=$\frac{\sqrt{3}}{3}R$時(shí)，重力的功率最大，${P}_{m}=mg•\frac{2}{3}\sqrt{\sqrt{3}gR}$，故D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及掌握瞬時(shí)功率的公式，對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)數(shù)學(xué)能力要求較高，有一定的難度．