Question

如圖a所示，水平面內(nèi)固定有寬L=0.2m的兩根光滑平行金屬導(dǎo)軌，金屬桿ab、cd垂直導(dǎo)軌水平放置，ab阻值R=0.5Ω，cd質(zhì)量m=0.01kg．勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面，不計(jì)金屬桿cd和導(dǎo)軌的電阻．若固定cd，用水平力F₁=0.04N勻速向左拉動(dòng)ab時(shí)，作出的位移大小-時(shí)間圖象如圖（b）中的①所示；若固定ab，用水平力恒力F₂從靜止起拉動(dòng)cd向右，作出的位移大小-時(shí)間圖象如圖（b）中的②所示．試求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）在F₂拉動(dòng)cd的3s時(shí)間內(nèi)，ab上產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）若在圖b中把縱坐標(biāo)改為v（m/s），試在v-t圖中畫(huà)出F₂拉動(dòng)cd的過(guò)程中較合理的圖線③．
（4）若用水平外力按圖線①向左勻速拉動(dòng)ab的同時(shí)，用水平外力按圖線②拉動(dòng)cd，則1s內(nèi)作用在cd上的外力至少做了多少功？（不同電源串聯(lián)時(shí)，回路中總電動(dòng)勢(shì)等于各電源電動(dòng)勢(shì)之和．）

Answer 1

分析：（1）由圖b可知，s-t圖象的斜率等于速度，即可求出金屬桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，根據(jù)水平力與安培力平衡條件進(jìn)行求解；
（2）由圖象看出，3s末金屬桿勻速運(yùn)動(dòng)，讀出速度，求出安培力，即可得到外力的大小，根據(jù)動(dòng)能定理求解Q；
（3）分析cd桿的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，再作v-t圖象．cd桿先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，在2s后做勻速運(yùn)動(dòng)．
（4）對(duì)cd桿進(jìn)行分析，根據(jù)牛頓第二定律得到加速度的表達(dá)式，對(duì)比“固定金屬桿ab，用水平力恒力F₂從靜止起拉動(dòng)金屬桿cd向右”的過(guò)程，相同時(shí)刻有相同的速度v和加速度a，即可求出外力，從而求出功．

解答：解：（1）金屬桿ab勻速時(shí)，根據(jù)圖象①有v₁=2m/s                         
由 F₁=BI₁L=

B2L2v1

R

得
B=

F1R L2v1

=

0.04×0.5 0．22×2

T=0.5T．
                       
（2）3s末，金屬桿cd勻速，根據(jù)圖象②有v₂=1m/s
   F₂=BI₂L=

B2L2v2

R

=0.02N                  
由動(dòng)能定理得
  F₂S-Q=

1

2

m

v

2 2

-0
得Q=F₂S-

1

2

m

v

2 2

=0.045J  
（3）cd桿先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，在2s后做勻速運(yùn)動(dòng)．近似圖如圖（b）中的紅線所示．      
啟動(dòng)時(shí)加速度是2m/s²，所以啟動(dòng)段與圖象①相切．
（4）設(shè)作用在金屬桿cd上的外力為F₂′，對(duì)金屬桿cd分析，某時(shí)刻速度v，加速度a，有
  F₂′-F_A3=ma
其中安培力F_A3=BI₃L=

B2L2(v1+v)

R

整理得F₂′-

B2L2v

R

-

B2L2v1

R

=ma…①
對(duì)比“固定金屬桿ab，用水平力恒力F₂從靜止起拉動(dòng)金屬桿cd向右”的過(guò)程，相同時(shí)刻有相同的速度v，加速度a
有F₂-

B2L2v

R

=ma…②
由①②兩式得F₂′=

B2L2v1

R

+F₂=F₁+F₂=0.04+0.02=0.06（N），則為恒力．    
所以1s內(nèi)做功W=F₂′S=0.06×0.56J=0.0336J                         
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為0.5T；
（2）在F₂拉動(dòng)cd的3s時(shí)間內(nèi)，ab上產(chǎn)生的焦耳熱Q是0.045J；
（3）若在圖b中把縱坐標(biāo)改為v（m/s），在v-t圖中畫(huà)出F₂拉動(dòng)cd的過(guò)程中較合理的圖線③如圖所示．
（4）1s內(nèi)作用在cd上的外力至少做了0.0336J的功．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，安培力是聯(lián)系的橋梁，關(guān)鍵是安培力分析和計(jì)算．第4問(wèn)采用對(duì)比的方法進(jìn)行研究．