Question

目前，我國(guó)正在實(shí)施“嫦娥奔月”計(jì)劃．如圖所示，登月飛船以速度v₀繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，已知飛船質(zhì)量為m＝1.2×10⁴ kg，離月球表面的高度為h＝100 km，飛船在A點(diǎn)突然向前做短時(shí)間噴氣，噴氣的相對(duì)速度為u＝1.0×10⁴ m/s，噴氣后飛船在A點(diǎn)的速度減為v_A，于是飛船將沿新的橢圓軌道運(yùn)行，最終飛船能在圖中的B點(diǎn)著陸(A、B連線通過月球中心，即A、B兩點(diǎn)分別是橢圓的遠(yuǎn)月點(diǎn)和近月點(diǎn))，試問：

(1)飛船繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度v₀是多大？

(2)由開普勒第二定律可知，飛船在A、B兩處的面積速度相等，即r_Av_A＝r_Bv_B，為使飛船能在B點(diǎn)著陸，噴氣時(shí)需消耗多少燃料？已知月球的半徑為R＝1700 km，月球表面的重力加速度為g＝1.7 m/s²(選無限遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)，物體的重力勢(shì)能大小為E_p＝)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)當(dāng)飛船以v0繞月球做半徑為rA＝R＋h的 　　圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律得， 　　(2分) 　　則(2分) 　　式中M表示月球的質(zhì)量，R為月球的半徑，為月球表面的重力加速度， 　　所以代入數(shù)據(jù)得，v0＝1652 m/s(2分) 　　(2)根據(jù)開普勒第二定律，飛船在A、B兩處的面積速度相等，所以有rAvA＝rBvB， 　　即(R＋h)vA＝RvB　�、佟　�(2分) 　　由機(jī)械能守恒定律得，　�、凇　�(2分) 　　由①②式并代入數(shù)據(jù)得，vA＝1628 m/s(2分) 　　故登月所需速度的改變量為m/s(2分) 　　飛船在A點(diǎn)噴氣前后動(dòng)量守恒，設(shè)噴氣總質(zhì)量為⊿m，因噴氣前的動(dòng)量為mv0，噴氣后的動(dòng)量為(m－⊿m)vA＋⊿m(v0＋u)，前后動(dòng)量相等， 　　故有mv0＝(m－⊿m)vA＋⊿m(v0＋u)，(2分) 　　故噴氣所消耗的燃料的質(zhì)量為⊿m＝m⊿v/(u＋⊿v)＝28.7 kg(2分)