Question

如圖所示，傾斜軌道AB的傾角為37^o，CD、EF軌道水平，AB與CD通過光滑圓弧管道BC連接，CD右端與豎直光滑圓周軌道相連。小球可以從D進(jìn)入該軌道，沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，從E滑出該軌道進(jìn)入EF水平軌道。a、b為兩完全相同的小球，a球由靜止從A點(diǎn)釋放，在C處與b球發(fā)生彈性碰撞。已知AB長(zhǎng)為5R，CD長(zhǎng)為R，重力加速度為g，小球與斜軌AB及水平軌道CD、EF的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5，sin37^o=0.6，cos37^o=0.8，圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為1.8R。求：

⑴a球滑到斜面底端C時(shí)速度為多大？a、b球在C處碰后速度各為多少？
⑵要使小球在運(yùn)動(dòng)過程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R′應(yīng)該滿足什么條件？若R′=2.5R，兩球最后所停位置距D（或E）多遠(yuǎn)？
注：在運(yùn)算中，根號(hào)中的數(shù)值無(wú)需算出。

Answer 1

⑴ ； ，   ⑵或；b球?qū)⑼Ｔ贒點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)0.6R處， a球停在D點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)R處。

試題分析：（1）設(shè)a球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v，a球從A運(yùn)動(dòng)至C過程，由動(dòng)能定理有
    ①
可得       ②
b球在C發(fā)生彈性碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，設(shè)a、b碰后瞬間速度分別為、，則有�、�
�、�
由②③④可得   
   ⑤
可知，a、b碰后交換速度，a靜止，b向右運(yùn)動(dòng)。
（2）要使小球b不脫離軌道，有兩種情況：
情況一：小球b能滑過圓周軌道最高點(diǎn)，進(jìn)入EF軌道。則小球b在最高點(diǎn)P應(yīng)滿足     ⑥

小球b碰后直到P點(diǎn)過程，由動(dòng)能定理，有
   ⑦
由⑤⑥⑦式，可得 
情況二：小球b上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí)，速度減為零，然后滑回D。則由動(dòng)能定理有   ⑧
由⑤⑧式，可得    
若，由上面分析可知，b球必定滑回D，設(shè)其能向左滑過DC軌道與a球碰撞，且a球到達(dá)B點(diǎn)，在B點(diǎn)的速度為,，由于a、b碰撞無(wú)能量損失，則由能量守恒定律有      ⑨
由⑤⑨式，可得   
故知，a球不能滑回傾斜軌道AB，a、b兩球?qū)⒃贏、Q之間做往返運(yùn)動(dòng)，最終a球?qū)⑼Ｔ贑處，b球?qū)⑼Ｔ贑D軌道上的某處。設(shè)b球在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的總路程為S，由于a、b碰撞無(wú)能量損失，則由能量守恒定律，有       ⑩
由⑤⑩兩式，可得   S=5.6R
所以知，b球?qū)⑼Ｔ贒點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)0.6R處， a球停在D點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)R處。
點(diǎn)評(píng)：彈性碰撞一般要用動(dòng)量守恒和碰撞前后動(dòng)能不變列表達(dá)式求解，本題中還要注意小球不脫離軌道有兩種情況，其中上升到與圓心等高速度減小為零的情況容易忽視。