Question

在納米技術(shù)中需要移動(dòng)式修補(bǔ)原子，必須使在不停地做熱運(yùn)動(dòng)（速率約幾百米每秒）的原子幾乎靜止下來(lái)且能在一個(gè)小的空間區(qū)域內(nèi)停留一段時(shí)間．在此華裔諾貝爾物理獎(jiǎng)得主朱棣文發(fā)明了“激光致冷”技術(shù)．若把原子和入射光子看成兩個(gè)小球，則“激光致冷”與下述力學(xué)模型類似．一質(zhì)量為M的小球A以速度v₀水平向右運(yùn)動(dòng)，如圖所示，一個(gè)動(dòng)量大小為P的小球B水平向左射向小球A并與之發(fā)生碰撞，當(dāng)兩球形變量最大時(shí)，形變量突然被鎖定一段時(shí)間△T，然后突然解除鎖定使小球B以大小相同的動(dòng)量p水平向右彈出．緊接著小球B再次以大小為p的動(dòng)量水平向左射向小球A，如此不斷重復(fù)上述過(guò)程，小球B每次射入時(shí)動(dòng)量大小為p，彈出時(shí)動(dòng)量大小也為p，最終小球A將停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)地面光滑，除鎖定時(shí)間△T外，其他時(shí)間均可不計(jì)．求：
（1）小球B第一次入射后再?gòu)棾鰰r(shí)，小球A的速度大小和這一過(guò)程中小球A動(dòng)能的減少量．
（2）從小球B第一次入射開(kāi)始到小球A停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）小球射入小車和從小車中彈出的過(guò)程中，小球和小車所組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律列式可求得小車的速度大�。�并能求小車動(dòng)能的減少量；
（2）小球第二次入射和彈出的過(guò)程小球和小車所組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒．由動(dòng)量守恒定律得出小球被彈出時(shí)小車的速度，運(yùn)用歸納法分析得出小球重復(fù)入射和彈出的次數(shù)n．即求出從小球第一次入射開(kāi)始到小車停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間．

解答：解：（1）小球B射入和彈出的過(guò)程中，小球B與小球A組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，
mv₀-p=mv′₁
mv′₁=mv₁+p
由以上兩式，可得：v₁=v₀-

2p

m

此過(guò)程中小球A動(dòng)能的減少量為：△E_k=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 1

=2p（v₀-

p

m

）
（2）、小球第二次入射和彈出的過(guò)程及以后重復(fù)進(jìn)行的過(guò)程中，小球B與小球A組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，得：
mv₁-p=mv′₂
mv′₂=mv₂+P
由以上兩式，可得：
v₂=v₁--

2p

m

=v₀-2×

2p

m

同理可推得：v_n=v₀-n×

2p

m

要使小球A車停下來(lái)，即v_n=0                        
小球B重復(fù)入射和彈出的次數(shù)為：n=

mv0

2p

小球A停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間為：t=n×△T=

mv0

2p

△T
答：（1）小球B第一次入射后再?gòu)棾鰰r(shí)，小球A的速度大小和這一過(guò)程中小球A動(dòng)能的減少量是2p（v₀-

p

m

）．
（2）從小球B第一次入射開(kāi)始到小球A停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間是

mv0

2p

△T．

點(diǎn)評(píng)：本題用小球與帶有彈簧碰撞的模型模擬“激光制冷”，要善于建立模型，研究過(guò)程，關(guān)鍵要運(yùn)用歸納法得到小車的速度表達(dá)式．