Question

12．如圖甲所示，粗糙的水平面上固定一傾斜角為θ=30°的光滑斜面，緊靠斜面底端有一質(zhì)量M=0.8kg的木板B，一質(zhì)量m=1.2kg的滑塊A從斜面頂端由靜止滑下，并以到達(dá)斜面底端的速度大小v₀滑上木板B的左端，之后兩者發(fā)生相對滑動，運(yùn)動到相同速度后一起做勻減速到停止．當(dāng)滑塊滑上木板后，滑塊和木板的v-t 圖象如圖乙所示，已知滑塊與木板之間動摩擦因素μ_A=0.15，木板與地面之間動摩擦因素μ_B=0.05，取g=10m/s²．求
（1）斜面的長度L；
（2）滑塊A從滑上木板B到兩者達(dá)到相同速度所需時(shí)間t₁；
（3）整個(gè)過程中，木板B通過的位移s．

Answer 1

分析 （1）滑塊從斜面上滑下時(shí)做勻加速運(yùn)動，由圖乙知滑塊到達(dá)斜面底端時(shí)速度 v₀=5 m/s，由牛頓第二定律求得滑塊下滑的加速度，再由速度位移公式求斜面的長度L；
（2）滑塊在木板上相對滑動時(shí)，做勻減速運(yùn)動，由牛頓第二定律求兩者的加速度，再由速度時(shí)間公式求滑塊A從滑上木板B到兩者達(dá)到相同速度所需時(shí)間t₁；
（3）整個(gè)過程中，木板B通過的位移s等于勻加速運(yùn)動的位移和后來勻減速運(yùn)動的位移之和．先由位移公式求勻加速運(yùn)動的位移．再由牛頓第二定律求出滑塊與木板一起勻減速運(yùn)動的加速度，再由速度公式求滑行的位移，從而得解．

解答 解：（1）滑塊從斜面上滑下時(shí)，由受力分析和牛頓第二定律，有
   mgsinθ=ma          
由運(yùn)動學(xué)公式有  v₀²-0=2aL        
由圖象可知滑塊到達(dá)斜面底端時(shí)速度  v₀=5 m/s      
聯(lián)解上面各式得斜面的長度  L=2.5 m    
（2）滑塊在木板上相對滑動時(shí)，做勻減速運(yùn)動，由牛頓第二定律，
有  μ_Amg=ma_A 
代入數(shù)據(jù)解得滑塊的加速度大小 a_A=1.5 m/s²  
木板做勻加速運(yùn)動，由受力分析及牛頓第二定律，有
  μ_Amg-μ_B（m+M）g=Ma_B 
代入數(shù)據(jù)解得木板B的加速度大小  a_B=1 m/s²  
兩者共速時(shí)，有   v₀-a_At₁=a_Bt₁ 
代入數(shù)據(jù)解得時(shí)間  t₁=2 s  
（3）木板做勻加速運(yùn)動時(shí)，通過的位移 s₁=$\frac{1}{2}$a_Bt₁²  
代入數(shù)據(jù)解得位移  s₁=2 m    
滑塊與木板達(dá)到共同速度 v=a_Bt₁=2 m/s  
 滑塊與木板一起做勻減速運(yùn)動時(shí)，
由牛頓第二定律，有  μ_B（m+M） g=（m+M）a_B   
代入數(shù)據(jù)解得加速度大小  a_AB=0.5 m/s²   
由運(yùn)動學(xué)公式，有    v²=2a_AB S₂    
代入數(shù)據(jù)解得位移  s₂=4 m    
木板運(yùn)動的位移 s=s₁+s₂=6 m
[第（3）問的解法二：滑塊與木板達(dá)到共同速度 v=a_Bt₁=2 m/s  
滑塊與木板一起做勻減速運(yùn)動時(shí)，
由牛頓第二定律，有  μ_B（m+M）g=（m+M）a_B  
代入數(shù)據(jù)解得加速度大小  a_AB=0.5 m/s²  
兩者一起做勻減速運(yùn)動時(shí)間 t₂=$\frac{v}{aAB}$ 
代入數(shù)據(jù)解得 t₂=4 s
木板總運(yùn)動時(shí)間 t=t₁+t₂=6 s  
木板運(yùn)動的位移 s=$\frac{v}{2}$ t  
代入數(shù)據(jù)解得 s=6 m 
答：
（1）斜面的長度L是2.5m；
（2）滑塊A從滑上木板B到兩者達(dá)到相同速度所需時(shí)間t₁是2s；
（3）整個(gè)過程中，木板B通過的位移s是6m．

點(diǎn)評 分析清楚物體的運(yùn)動情況，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式分段研究，分析時(shí)要抓住兩個(gè)物體位移關(guān)系、速度關(guān)系和加速度關(guān)系．