Question

如圖所示，在坐標(biāo)系xOy中，y軸右側(cè)有一勻強(qiáng)電場；在第二、三象限內(nèi)有一有界勻強(qiáng)磁場，其上、下邊界無限遠(yuǎn)，右邊界為y軸、左邊界為平行于y軸的虛線，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里．一帶正電，電量為q、質(zhì)量為m的粒子以某一速度自磁場左邊界上的A點(diǎn)射入磁場區(qū)域，并從O點(diǎn)射出，粒子射出磁場的速度方向與x軸的夾角θ=45°，大小為v．粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡為紙面內(nèi)的一段圓弧，且弧的半徑為磁場左右邊界間距的

2

倍．粒子進(jìn)入電場后，在電場力的作用下又由O點(diǎn)返回磁場區(qū)域，經(jīng)過一段時(shí)間后再次離開磁場．已知粒子從A點(diǎn)射入到第二次離開磁場所用的時(shí)間恰好等于粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期．忽略重力的影響．求：
（1）粒子經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)速度的方向和A點(diǎn)到x軸的距離；
（2）勻強(qiáng)電場的大小和方向；
（3）粒子從第二次離開磁場到再次到達(dá)磁場所用的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心角，抓住速度方向與半徑垂直確定出粒子的速度方向，通過幾何關(guān)系求出A點(diǎn)到x軸的距離．
（2）粒子在電場中做勻變速直線運(yùn)動，結(jié)合粒子第一次在磁場中和第二次在磁場中的時(shí)間求出在電場中的運(yùn)行時(shí)間，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出電場強(qiáng)度的大�。�
（3）粒子自P點(diǎn)射出后將做類平拋運(yùn)動，抓住沿著電場方向做勻加速直線運(yùn)動，垂直電場方向做勻速直線運(yùn)動，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式求出粒子從第二次離開磁場到再次到達(dá)磁場所用的時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)磁場左邊界與x軸相交于D點(diǎn)，過O點(diǎn)作速度v垂線O O₁，與MN相交于O₁點(diǎn)．由幾何關(guān)系可知，在直角三角形OO₁D中∠OO₁D=45°．設(shè)磁場左右邊界間距為d，則OO₁=

2

d．
故粒子第一次進(jìn)入磁場的運(yùn)動軌跡的圓心即為O₁點(diǎn)，圓孤軌跡所對的圓心角為45°，且O₁A為圓弧的半徑R．
由此可知，粒子自A點(diǎn)射入磁場的速度與左邊界垂直．
A點(diǎn)到x軸的距離：

.

AD

=R(1-cos45°)-----------①
由洛侖茲力公式、牛頓第二定律及圓周運(yùn)動的規(guī)律，得：
qvB=m

v2

R

------------②
聯(lián)立①②式得：

.

AD

=

mv

qB

(1-

2

2

)------------③
（2）依題意：勻強(qiáng)電場的方向與x軸正向夾角應(yīng)為135°．
設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期為T，第一次在磁場中飛行的時(shí)間為t₁，有
t1=

T

8

--------------④
T=

2πm

qB

---------------⑤
由幾何關(guān)系可知，粒子再次從O點(diǎn)進(jìn)入磁場的速度方向與磁場右邊夾角為45°．設(shè)粒子第二次在磁場中飛行的圓弧的圓心為O₂，O₂必定在直線OO₁上．設(shè)粒子射出磁場時(shí)與磁場右邊界交于P點(diǎn)，則∠O O₂P=90°．設(shè)粒子第二次進(jìn)入磁場在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為t₂，有：
t2=

1

4

T-------------⑥
設(shè)帶電粒子在電場中運(yùn)動的時(shí)間為t₃，依題意得：
t₃=T-（t₁+t₂）------------⑦
由勻變速運(yùn)動的規(guī)律和牛頓定律可知：
-v=v-at₃--------------⑧
a=

qE

m

----------------⑨
聯(lián)立④⑤⑥⑦⑧⑨可得：
E=

8

5π

Bv------------------⑩
（3）由幾何關(guān)系可得：∠OPO₂=45°
故粒子自P點(diǎn)射出后將做類平拋運(yùn)動．
則沿電場方向做勻加速運(yùn)動：
s1=

1

2

at2--------------------（11）
垂直電場方向做勻速直線運(yùn)動：
s₂=vt------------（12）
tan45°=

s1

s2

---------（13）
聯(lián)立⑨⑩（12）（13）式得：
t=

5πm

4qB

．
答：（1）粒子經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)速度的方向與左邊界垂直，A點(diǎn)到x軸的距離為

mv

qB

(1-

2

2

)．
（2）勻強(qiáng)電場的大小為E=

8

5π

Bv，方向與x軸正向夾角應(yīng)為135°．
（3）粒子從第二次離開磁場到再次到達(dá)磁場所用的時(shí)間為t=

5πm

4qB

．

點(diǎn)評：帶電粒子在磁場中 的運(yùn)動，正確地畫出運(yùn)動的軌跡是解題的關(guān)鍵，抓住粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，結(jié)合半徑公式、周期公式和幾何關(guān)系進(jìn)行求解，第一次進(jìn)入電場做勻變速直線運(yùn)動，第二次進(jìn)入電場做類平拋運(yùn)動，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式進(jìn)行求解．