Question

如圖所示，在水平桌面上放有長木板C，C上右端是固定擋板P，在C上左端和中點(diǎn)處各放有小物塊A和B，A、B的尺寸以及P的厚度皆可忽略不計(jì)，A、B之間和B、P之間的距離皆為L．設(shè)木板C與桌面之間無摩擦，A、C之間和B、C之間的靜摩擦因數(shù)及滑動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ；A、B、C（連同擋板P）的質(zhì)量相同．開始時(shí)，B和C靜止，A以某一初速度向右運(yùn)動(dòng)．試問下列情況是否能發(fā)生？要求定量求出能發(fā)生這些情況時(shí)物塊A的初速度v₀應(yīng)滿足的條件，或定量說明不能發(fā)生的理由．
（1）物塊A與B發(fā)生碰撞；
（2）物塊A與B發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞，碰后交換速度）后，物塊B與擋板P發(fā)生碰撞；
（3）物塊B與擋板P發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊B與A在木板C上再發(fā)生碰撞？

Answer 1

分析：開始過程是A與C相互作用，此時(shí)可假設(shè)B與C相對(duì)靜止，再通過計(jì)算假設(shè)正確，再根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出速度，再結(jié)合能量守恒定律求出它們發(fā)生的位移，從而找出與B發(fā)生碰撞的條件，其它情況的求法類似．

解答：解：（1）以m表示物塊A、B和木板C的質(zhì)量，當(dāng)物塊A以初速度v₀向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，A將受到木板施加的向左的大小為μmg的滑動(dòng)摩擦力而減速，即B、C之間無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，木板C則受到物塊A施加的大小為μmg的滑動(dòng)摩擦力和物塊B一起做加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)A、B、C三者的加速度分別為a₁a₂，則由牛頓第二定律，
有μmg=ma₁，μmg=2ma₂．
若物塊A剛好與物塊B不發(fā)生碰撞，則物塊A運(yùn)動(dòng)到物塊B所在處時(shí)，A與B的速度大小相等．因物塊B與木板C速度相等，所以此時(shí)三者速度均相同，設(shè)為v₁，
由動(dòng)量守恒定律得mv₀=3m?v₁，
在此過程中，設(shè)木板C運(yùn)動(dòng)的路程為s₁，則物塊A的路程為s₂=s₁+L，如圖所示，

由動(dòng)能定理得
對(duì)A有

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

=-μmgs2      
對(duì)C與B有

1

2

?2m

v

2 1

=μmgs1             
聯(lián)立以上各式，解得：v0=

3mgL

A與B發(fā)生碰撞，故A與B發(fā)生碰撞的條件是v0＞

3mgL

       ①．
（2）當(dāng)物塊A的初速度v₀滿足①式時(shí)，A與B將發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞的瞬間，A、B、C三者的速度分別為v_A、v_B、v_C，則有v_A＞v_B=v_C      
在物塊A、B發(fā)生碰撞的極短時(shí)間內(nèi)，木板C對(duì)它們的摩擦力的沖量非常小，可忽略不計(jì)．故在碰撞過程中，A與B構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，而木板C的速度保持不變，因?yàn)槲飰KA、B間的碰撞是彈性的，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，又因?yàn)橘|(zhì)量相等，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可以證明（證明從略），碰撞前后A、B交換速度，若碰撞剛結(jié)束時(shí)，物塊A與木板C速度相等，保持相對(duì)靜止，B相對(duì)AC向右運(yùn)動(dòng)，以后發(fā)生的過程相當(dāng)于第1問中所進(jìn)行的延續(xù)，由物塊B代替A繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)．
若物塊B剛好與擋板P不發(fā)生碰撞，則物塊B以速v_B′=v_A從C板的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到擋板P所在處時(shí)與C的速度相等．A與C的速度大小是相等的，A、B、C三者的速度相等，設(shè)此時(shí)三者的速度v₂，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有mv₀=3mv₂
A以初速度v₀開始運(yùn)動(dòng)，接著與B發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞后物塊A相對(duì)木板C靜止，B到達(dá)P所在處這一整個(gè)過程中，先是A相對(duì)C運(yùn)動(dòng)的路程為L，接著是B相對(duì)C運(yùn)動(dòng)的路程為L，整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變，等于系統(tǒng)內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即

1

2

(3m)

v

2 2

-

1

2

m

v

2 0

=-mg?2L
解以上兩個(gè)公式得   v0=

6μgL

即物塊A的初速度 v0=

6μgL

時(shí)，A與B碰撞，但B與P剛好不發(fā)生碰撞，
若使 v0＞

6μgL

，就能使B與P發(fā)生碰撞，故A與B碰撞后，物塊B與擋板P發(fā)生碰撞的條件是v0＞

6μgL

                   
即物塊A與B發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊B與擋板P發(fā)生碰撞的條件是v0＞

6μgL

     ②
（3）若物塊A的初速度v₀滿足條件②式，則在A、B發(fā)生碰撞后，B將與擋板P發(fā)生碰撞，設(shè)在碰撞前瞬間，A、B、C三者的速度分別為v_B″、v_A″、v_C″，
則有v_B″＞v_A″=v_C″
B與P碰撞的過程中，同（2）的分析，B與C交換速度，在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，木板C以較大的加速度向右做減速運(yùn)動(dòng)，而物塊A和B以相同的較小的加速度向右做加速運(yùn)動(dòng)，加速度的大小分別為a_A=a_B=μg，ma_C=2μmg       
加速過程將持續(xù)到或者A和B與C的速度相同，三者以相同速度

1

3

v0向右做勻速運(yùn)動(dòng)，或者木塊A從木板C上掉了下來．由于A與B的初速度和加速度均相等，因此物塊B與A在木板C上不可能再發(fā)生碰撞．
即物塊B與擋板P發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊B與A在木板C上不可能再發(fā)生碰撞．     
答：（1）物塊A與B發(fā)生碰撞的條件是v0＞

3mgL

；
（2）物塊A與B發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞，碰后交換速度）后，物塊B與擋板P發(fā)生碰撞v0＞

6μgL

；
（3）物塊B與擋板P發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊B與A在木板C上不可能再發(fā)生碰撞．

點(diǎn)評(píng)：解物理題的關(guān)鍵是對(duì)物理過程的分析，靈活運(yùn)用假設(shè)思想尋找物理模型，然后根據(jù)不同過程選用相應(yīng)的規(guī)律求解．