Question

1．某行星上一晝夜的時間為t=12h，在該行星赤道處用彈簧秤測得一物體的重力大小比在該行星兩極處小5%，則該行星的平均密度是多大？

Answer 1

分析 物體在兩極萬有引力等于重力，在赤道萬有引力與重力的合力提供了隨行星自轉所需的向心力，列出赤道和兩極的動力學方程．

解答 解：設行星質量為M，物體質量為m，行星半徑為R
在兩極：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=F_重①
在赤道：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}{-}_{{F'}_{重}}=m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}R$②
由題意得F_重（1-5%）=${F'}_{重}^{\;}$③
聯(lián)立①②③得$5%G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）${\;}_{\;}^{2}$R④
$M=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$⑤
聯(lián)立得：ρ=$\frac{60π}{G{T}_{\;}^{2}}$=$\frac{60×3.14}{6.67×1{0}_{\;}^{-11}×（12×3600）_{\;}^{2}}$=1.5×10³kg/m³
答：行星的平均密度是1.5×10^-3kg/m³

點評 本題考查了萬有引力與重力的關系，考慮星球自轉，萬有引力與重力的合力提供向心力，一般情況下忽略星球的自轉認為萬有引力等于重力．