Question

17．2013年12月2日1時(shí)30分我國成功發(fā)射“嫦娥三號(hào)”于12月14日21時(shí)11分在月球正面的虹灣以東地區(qū)著陸，12月15日凌晨，“嫦娥三號(hào)”搭載的“玉兔”號(hào)月球探測(cè)器成功與“嫦娥三號(hào)”進(jìn)行器件分離，我國航天器首次實(shí)現(xiàn)在地外天體的軟著陸，表明中國航天技術(shù)獲得了重大進(jìn)展．某同學(xué)提出設(shè)想：“玉兔”號(hào)月球車登陸月球后，利用月球車附屬機(jī)械裝置進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓單擺在月球表面做小幅度振動(dòng)，測(cè)出單擺擺長為L，單擺振動(dòng)周期為T（已知月球的半徑為R，萬有引力常量為G，可認(rèn)為此月球表面的物體受到的重力等于物體與月球之間的萬有引力），則可求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的質(zhì)量M；
（3）月球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）單擺在月球表面做小幅度振動(dòng)時(shí)，其周期公式為T=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}$，g是月球表面的重力加速度．由此公式變形即可求得g．
（2）物體在月球表面時(shí)，萬有引力等于重力，列式即可求得月球的質(zhì)量．
（3）根據(jù)重力提供向心力，可計(jì)算月球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）根據(jù)單擺周期公式T=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}$，解得：g=$\frac{4{π}^{2}L}{{T}^{2}}$
（2）在月球表面，物體受到的重力等于物體與月球間的萬有引力，設(shè)物體的質(zhì)量為m₀，
 有 G $\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$=m₀g
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{4{π}^{2}L{R}^{2}}{G{T}^{2}}$
（3）設(shè)月球的第一宇宙速度為v，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m
根據(jù)重力提供向心力，則
  m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mg
解得：v=$\sqrt{gR}$=$\frac{2π}{T}$$\sqrt{RL}$
答：
（1）月球表面的重力加速度g為$\frac{4{π}^{2}L}{{T}^{2}}$；
（2）月球的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}L{R}^{2}}{G{T}^{2}}$；
（3）月球的第一宇宙速度v為$\frac{2π}{T}$$\sqrt{RL}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是單擺周期公式和萬有引力的綜合應(yīng)用，它們之間聯(lián)系的紐帶是重力加速度g．