Question

3．如圖所示，O為地球球心，A為地球表面上的點(diǎn)，B為O、A連線間的點(diǎn)，AB=d，將地球視為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R．設(shè)想挖掉以B為圓心，以$\fracmicaomi{3}$為半徑的球．若忽略地球自轉(zhuǎn)，則挖出球體后A點(diǎn)的重力加速度與挖去球體前的重力加速度之比為$1-\fracykc0g2i{27R}$．

Answer 1

分析 沒有挖去以B為圓心，以$\fraccuycemq{3}$為半徑的球之前，根據(jù)萬有引力定律列式求解萬有引力；此時(shí)的引力是以B為圓心、以$\fracc0mmiya{3}$為半徑的球的引力和剩余部分的引力的矢量和；最后根據(jù)牛頓第二定律列式求解

解答 解：設(shè)球的密度為ρ
挖去球體前A點(diǎn)的重力加速度為${g}_{A}^{\;}$，根據(jù)重力等于萬有引力$m{g}_{A}^{\;}=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$得${g}_{A}^{\;}=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$=$G\frac{ρ×\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4}{3}GπρR$
球B在A點(diǎn)的重力加速度：${g}_{B}^{\;}=G\frac{{M}_{B}^{\;}}{souug6w_{\;}^{2}}=G\frac{ρ×\frac{4}{3}π（\fracseee80o{3}）_{\;}^{3}}{eq02wek_{\;}^{2}}=\frac{4}{81}Gπρd$
挖去球體B后A點(diǎn)的重力加速度：${g}_{A}^{′}={g}_{A}^{\;}-{g}_{B}^{\;}$=$\frac{4}{3}GπρR-\frac{4}{81}Gπρd$
挖出球體后A點(diǎn)的重力加速度與挖去球體前的重力加速度之比為$\frac{{g}_{A}^{′}}{{g}_{A}^{\;}}=\frac{\frac{4}{3}GπρR-\frac{4}{81}Gπρd}{\frac{4}{3}GπρR}=1-\fracuaii6mq{27R}$
故答案為：$1-\fraciq2qmww{27R}$

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是采用割補(bǔ)法分析，明確地球引力是以B為圓心、以$\fracy0ywikm{3}$為半徑的球的引力和剩余部分的引力的矢量和，結(jié)合萬有引力定律列式求解，不難．