Question

如圖所示，傾角為θ=30°的斜面固定于水平地面上，在斜面底端O處固定有一輕彈簧，斜面頂端足夠高。斜面上OM段光滑，M點(diǎn)的以上均粗糙。質(zhì)量為m的物塊A在M點(diǎn)恰好能靜止，在離M點(diǎn)的距離為L(zhǎng)的N點(diǎn)處，有一質(zhì)量為2m的光滑物塊B以速度v₀=滑向物塊A，若物塊間每次碰撞(碰撞時(shí)間極短)后即緊靠在一起但不粘連，物塊間、物塊和彈簧間的碰撞均為正碰。求：

(1)物塊A在M點(diǎn)上方時(shí)，離M點(diǎn)的最大距離s；

(2)系統(tǒng)產(chǎn)生的總內(nèi)能E。

Answer 1

(1)L      (2)3 mgL

解析：(1)設(shè)物塊B第一次和物塊A碰前的速度為v₁,碰后的共同速度為v₂。物塊B從N動(dòng)到M點(diǎn)由動(dòng)能定理有：2mgLsinθ=×-×                             ①

對(duì)物塊B和物塊A，在碰撞過(guò)程由動(dòng)量守恒有：

2mv₁=(2m+m)v₂                                                               ②

物塊A、B從第一次在M點(diǎn)相碰后至再次回到M點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，兩物塊速度大小不變，方向反向，其后物塊A、B將作勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度分別設(shè)為a₁、a₂。由牛頓第二定律有，對(duì)A:μmgcosθ+mgsinθ=ma₁

對(duì)B：2mgsinθ=2ma₂又由題意中“物塊A恰好靜止”可得：μmgcosθ=mgsinθ            ③

得：a₁＞a₂

所以當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到最高處?kù)o止時(shí)，物塊B還在向上減速運(yùn)動(dòng)，未與A相碰。

對(duì)A從M到最高處由動(dòng)能定理有：

(-μmgcosθ-mgsinθ)s=0-×                                                 ④

由①②③④式得：s=2L/3

(2)物塊A、B最終緊靠一起在OM間作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，從物塊B開始運(yùn)動(dòng)至A、B一起運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)且速度為零的過(guò)程中，由能量轉(zhuǎn)化和守恒定律有：

E=2mgLsinθ+×

所以系統(tǒng)產(chǎn)生的總內(nèi)能E=3mgL