Question

20．光滑絕緣水平面上放置了光滑平行金屬導軌ab、a′b′，間距為d=1m；一光滑導體輕桿PQ靜止在軌道最左端．導軌虛線右側(cè)區(qū)域存在磁感應(yīng)強度B=0.4T的勻強磁場，方向垂直水平面向下．導軌左側(cè)豎直放置兩正對的平行金屬板MN、M′N′，兩平行板間電勢差為U₁=10V．將一帶電量為q=0.5C，質(zhì)量為m=0.4kg的帶電小球在靠近MN板處由靜止釋放，沿直線從M′N′上的小孔射出，與PQ中點發(fā)生正碰，碰撞時間極短，碰撞前后小球帶電量不變，且碰后都向右運動，小球速度v₁；PQ速度v₂=8m/s，經(jīng)時間t₁=0.5sPQ進入虛線右側(cè)磁場區(qū)域．小球在t₁時刻開始做類平拋運動，最終落在導軌a′b′上．試求：

（1）小球從M′N′上小孔射出時的初速度v₀；
（2）小球做類平拋運動的時間t₂；
（3）要使小球不進入磁場區(qū)域，導體輕桿PQ的質(zhì)量M應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）小球在水平面上運動時只有電場力做功，根據(jù)動能定理求解小球從M′N′上小孔射出時的初速度v₀；
（2）小球與桿PQ發(fā)生碰撞，遵守動量守恒定律，由此定律可求得碰后小球的速度．PQ進入磁場后切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，由法拉第定律可求得感應(yīng)電動勢．根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式求解小球做類平拋運動的時間t₂；
（3）碰后球和桿各自做勻速直線運動，由幾何關(guān)系分析球的質(zhì)量條件．再由碰撞過程中能量守恒列式分析即可．

解答 解：（1）小球在水平面上運動時只有電場力做功，由動能定理，有：
  qU₁=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ ①
可得 小球從M′N′上小孔射出時的初速度 v₀=$\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×0.5×10}{0.4}}$=5m/s
（2）導體桿PQ進入磁場區(qū)域后，切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，有：U=Bdv₂ ②
此時小球在豎直方向上受到電場力作用，方向豎直向下，由牛頓第二定律有  a=$\frac{qU}{md}$ ③
小球做類平拋運動，在豎直方向上，有
  $\frac5dvcebt{2}$=$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$ ④
可得，小球做平拋運動的時間 t₂=0.5s
（3）小球與PQ中點發(fā)生正碰，取向右為正方向，由動量守恒定律，可得  mv₀=mv₁+Mv₂ ；⑤
碰后，球和桿各自做勻速直線運動，直到桿進入磁場區(qū)域，由幾何關(guān)系得
   l=（v₂ -v₁）t₁；⑥
小球做類平拋時，水平方向位移為
  0＜x=v₁t₂≤l；⑦
聯(lián)立以上各式得 輕桿的質(zhì)量 0.05kg≤M＜0.25kg
球與桿發(fā)生碰撞，由能量守恒，有
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$≥$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$；⑧
聯(lián)立⑤⑧可得，桿的質(zhì)量 M≤0.1kg
綜上所述，輕桿PQ的質(zhì)量M應(yīng)滿足的條件是0.05kg≤M＜0.1kg．
答：
（1）小球從M′N′上小孔射出時的初速度v₀是5m/s．
（2）小球做類平拋運動的時間t₂是0.5s．
（3）要使小球不進入磁場區(qū)域，導體輕桿PQ的質(zhì)量M應(yīng)滿足的條件是0.05kg≤M＜0.1kg．

點評 本題是復(fù)雜的力電綜合題，正確分析球和桿的運動情況，把握每個過程的物理規(guī)律，特別是注意幾何關(guān)系的分析是解答的關(guān)鍵，可運用程序法進行分析．