Question

11．一個半徑為R的圓周的軌道，O點為圓心，B為軌道上的一點，OB與水平方向的夾角為37°．軌道的左側(cè)與一固定光滑平臺相連，在平臺上一輕質(zhì)彈簧左端與豎直擋板相連，彈簧原長時右端在A點．現(xiàn)用一質(zhì)量為m的小球（與彈簧不連接）壓縮彈簧至P點后釋放．已知重力加速度為g，不計空氣阻力．
（1）若小球恰能擊中B點，求剛釋放小球時彈簧的彈性勢能；
（2）試通過計算判斷小球落到軌道時速度會否與圓弧垂直；
（3）改變釋放點的位置，求小球落到軌道時動能的最小值．

Answer 1

分析 （1）小球離開O點后做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律和幾何關(guān)系求出平拋的初速度，再利用機械能守恒定律即可求得彈性勢能；
（2）小球做平拋運動，通過運動學(xué)公式求的位移的偏轉(zhuǎn)角與速度的偏轉(zhuǎn)角來判斷；
（3）設(shè)落點與O點的連線與水平方向的夾角為θ，由平拋運動的規(guī)律和動能定理得到小球落到軌道時動能與θ的函數(shù)式，再由數(shù)學(xué)知識求動能的最小值．

解答 解：（1）小球離開O點做平拋運動，設(shè)初速度為v₀，
水平方向有：Rcos37°=v₀t
豎直方向有：Rsin37°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{\frac{8}{15}gR}$
由機械能守恒定律得，剛釋放小球時彈簧的彈性勢能為：
E_P=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{4}{15}$mgR
（2）設(shè)落點與O點的連線與水平方向的夾角為θ，小球做平拋運動，有：
   Rcosθ=v₀t      
   Rsinθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
位移方向與圓弧垂直，則：tanθ=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$
設(shè)速度方向與水平方向的夾角為α，則：
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$=2tanθ              
所以小球不能垂直擊中圓弧
（3）設(shè)落地點與O點的連線與水平方向的夾角為θ，小球做平拋運動，有：
   Rcosθ=v₀t 
  Rsinθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由動能定理得：mg•Rsinθ=E_k-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：E_k=mgR（$\frac{3}{4}sinθ$+$\frac{1}{4sinθ}$）
當(dāng)sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，E_k取最小值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}mgR$．
答：（1）若小球恰能擊中B點，剛釋放小球時彈簧的彈性勢能為$\frac{4}{15}$mgR；
（2）小球落到軌道時速度不能圓弧垂直；
（3）改變釋放點的位置，小球落到軌道時動能的最小值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}mgR$．

點評 解決本題的關(guān)鍵要掌握平拋運動的規(guī)律，運用函數(shù)法求動能的最小值．要抓住平拋運動兩個分運動的位移關(guān)系，通過證明知道速度方向與位移方向是不同的．