Question

11．一個(gè)半徑為R的圓周的軌道，O點(diǎn)為圓心，B為軌道上的一點(diǎn)，OB與水平方向的夾角為37°．軌道的左側(cè)與一固定光滑平臺(tái)相連，在平臺(tái)上一輕質(zhì)彈簧左端與豎直擋板相連，彈簧原長時(shí)右端在A點(diǎn)．現(xiàn)用一質(zhì)量為m的小球（與彈簧不連接）壓縮彈簧至P點(diǎn)后釋放．已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．
（1）若小球恰能擊中B點(diǎn)，求剛釋放小球時(shí)彈簧的彈性勢能；
（2）試通過計(jì)算判斷小球落到軌道時(shí)速度會(huì)否與圓弧垂直；
（3）改變釋放點(diǎn)的位置，求小球落到軌道時(shí)動(dòng)能的最小值．

Answer 1

分析 （1）小球離開O點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何關(guān)系求出平拋的初速度，再利用機(jī)械能守恒定律即可求得彈性勢能；
（2）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，通過運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求的位移的偏轉(zhuǎn)角與速度的偏轉(zhuǎn)角來判斷；
（3）設(shè)落點(diǎn)與O點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為θ，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和動(dòng)能定理得到小球落到軌道時(shí)動(dòng)能與θ的函數(shù)式，再由數(shù)學(xué)知識(shí)求動(dòng)能的最小值．

解答 解：（1）小球離開O點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)初速度為v₀，
水平方向有：Rcos37°=v₀t
豎直方向有：Rsin37°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{\frac{8}{15}gR}$
由機(jī)械能守恒定律得，剛釋放小球時(shí)彈簧的彈性勢能為：
E_P=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{4}{15}$mgR
（2）設(shè)落點(diǎn)與O點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為θ，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，有：
   Rcosθ=v₀t      
   Rsinθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
位移方向與圓弧垂直，則：tanθ=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$
設(shè)速度方向與水平方向的夾角為α，則：
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$=2tanθ              
所以小球不能垂直擊中圓弧
（3）設(shè)落地點(diǎn)與O點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為θ，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，有：
   Rcosθ=v₀t 
  Rsinθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由動(dòng)能定理得：mg•Rsinθ=E_k-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：E_k=mgR（$\frac{3}{4}sinθ$+$\frac{1}{4sinθ}$）
當(dāng)sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，E_k取最小值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}mgR$．
答：（1）若小球恰能擊中B點(diǎn)，剛釋放小球時(shí)彈簧的彈性勢能為$\frac{4}{15}$mgR；
（2）小球落到軌道時(shí)速度不能圓弧垂直；
（3）改變釋放點(diǎn)的位置，小球落到軌道時(shí)動(dòng)能的最小值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}mgR$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，運(yùn)用函數(shù)法求動(dòng)能的最小值．要抓住平拋運(yùn)動(dòng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的位移關(guān)系，通過證明知道速度方向與位移方向是不同的．