Question

如圖所示，AB為半徑R=0.8m的1/4光滑圓弧軌道，下端B恰與平板小車(chē)右端平滑對(duì)接．小車(chē)質(zhì)量M=3kg，車(chē)長(zhǎng)L=2.06m．現(xiàn)有一質(zhì)量m=1kg的小滑塊，由軌道頂端無(wú)初速釋放，滑到B端后沖上小車(chē)．已知地面光滑，滑塊與小車(chē)上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，當(dāng)車(chē)運(yùn)行了1.5s時(shí)，車(chē)被地面裝置鎖定．試求：（g=10m/s²）

（1）滑塊到達(dá)B端時(shí)，軌道對(duì)它支持力的大��；
（2）車(chē)被鎖定時(shí)，車(chē)右端距軌道B端的距離；
（3）從車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到被鎖定的過(guò)程中，滑塊與平板車(chē)構(gòu)成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能；
（4）滑塊滑離車(chē)左端時(shí)的動(dòng)能．

Answer 1

分析：（1）滑塊從光滑圓弧軌道過(guò)程，只有重力做功，機(jī)械能守恒．經(jīng)過(guò)B端時(shí)由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律求解軌道的支持力．
（2）根據(jù)牛頓第二定律分別求出滑塊滑上小車(chē)后滑塊和小車(chē)的加速度，由速度公式求出兩者速度所經(jīng)歷的時(shí)間，再求解車(chē)被鎖定時(shí)，車(chē)右端距軌道B端的距離；
（3）從車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到被鎖定的過(guò)程中，系統(tǒng)損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，求出滑塊相對(duì)于小車(chē)滑動(dòng)的距離，根據(jù)能量守恒定律求出系統(tǒng)損失的機(jī)械能．
（4）根據(jù)動(dòng)能定理求解滑塊滑離車(chē)左端時(shí)的動(dòng)能．

解答：解：（1）滑塊從光滑圓弧軌道過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
        mgR=

1

2

mv²
滑塊經(jīng)過(guò)B端時(shí)，由牛頓第二定律得：N-mg=m

v2

R

聯(lián)立兩式，代入數(shù)值得，軌道對(duì)滑塊的支持力為N=3mg=30N                        
（2）當(dāng)滑塊滑上小車(chē)后，由牛頓第二定律，得
  對(duì)滑塊有：-μmg=ma₁
  對(duì)小車(chē)有：umg=Ma₂
設(shè)經(jīng)時(shí)間t兩者達(dá)到共同速度，則有：v+a₁t=a₂t
解得t=1 s．由于1s＜1.5s，此時(shí)小車(chē)還未被鎖定，兩者的共同速度：v′=a₂t=1m/s，兩者以共同速度運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t′=0.5s．
故車(chē)被鎖定時(shí)，車(chē)右端距軌道B端的距離：S=

1

2

a₂ t²+v′t′=1 m
（3）從車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到被鎖定的過(guò)程中，滑塊相對(duì)小車(chē)滑動(dòng)的距離
△S=

v+v′

2

t-

1

2

a₂t²=2m
所以系統(tǒng)損失的機(jī)械能即產(chǎn)生的內(nèi)能為E=μmg△S=6J
（4）對(duì)小滑塊在車(chē)被鎖定后相對(duì)車(chē)滑動(dòng)過(guò)程，由動(dòng)能定理得
-μmg（L-△S）=E_K-

1

2

mv²
得，E_K=0.32 J
答：
（1）滑塊到達(dá)B端時(shí)，軌道對(duì)它支持力的大小為30N；
（2）車(chē)被鎖定時(shí)，車(chē)右端距軌道B端的距離為1m；
（3）從車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到被鎖定的過(guò)程中，滑塊與平板車(chē)構(gòu)成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能為6J；
（4）滑塊滑離車(chē)左端時(shí)的動(dòng)能為0.32J．

點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用程序法進(jìn)行分析．（2），（3），（4）問(wèn)也可以運(yùn)用動(dòng)量守恒定律，牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，更簡(jiǎn)便求解．