Question

4．玻爾理論成功的解釋了氫光譜．電子繞氫原子核運動可以看作是僅在庫侖力作用下的勻速圓周運動．己知電子的電荷量為e，電子在第1軌道運動的半徑為r₁．靜電力常量為k．
（1）試計算電子繞氫原子核在第1軌道上做勻速圓周運動時的動能；
（2）玻爾認為氫原了處于不同的能量狀態(tài)，對應著電子在不同的軌道上繞核做勻速圓周運動．他發(fā)現(xiàn)，電子在第n軌道上運動時的軌道半徑r_n=n²r₁，其中n為量子數(shù)，（即軌道序號）．
根據(jù)經(jīng)典電磁理論，電子在第n軌道上運動時，氫原子的能量E_n為電子動能與“電子-原子核”這個系統(tǒng)電勢能的總和．理論證明，系統(tǒng)的電勢能E_p和電子繞氫原子核做圓周運動的半徑r存在關系：E_p=-k$\frac{{e}^{2}}{r}$（以無窮遠為電勢能零點）．請根據(jù)以上條件完成下面的問題．
①電子在第n軌道運動時氫原子的能量E_n的表達式（用m，e，r₁和k表示）
②假設氫原子甲的核外電子從第2軌道躍遷到第1軌道的過程中所釋放的能量，恰好被量子數(shù)n=3的氫原子乙吸收并使其電離．不考慮躍遷或電離前后原子核所受的反沖，試求氫原子乙電離出的電子的動能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)庫侖力提供向心力，結合圓周運動周期的公式，再由電流表達式，即可求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律，結合動能與電勢能表達式，從而確定各軌道的能級，最后由能量守恒定律，即可求解

解答 解：（1）設電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運動的周期為${T}_{1}^{\;}$，形成的等效電流大小為${I}_{1}^{\;}$，
根據(jù)牛頓第二定律有：$k\frac{{e}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
${E}_{k}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=\frac{k{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{1}^{\;}}$
（2）①設電子在第1軌道上運動的氫原子的能量${E}_{1}^{\;}=-k\frac{{e}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}+k\frac{{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{1}^{\;}}=-k\frac{{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{1}^{\;}}$
同理，電子在第n軌道運動時氫原子的能量${E}_{n}^{\;}=-k\frac{{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{n}^{\;}}$
②電子從第2軌道躍遷到第1軌道釋放的能量：$△E={E}_{2}^{\;}-{E}_{1}^{\;}=\frac{3k{e}_{\;}^{2}}{8{r}_{1}^{\;}}$
電子在第3軌道時氫原子的能量${E}_{3}^{\;}=\frac{1}{9}{E}_{1}^{\;}=-k\frac{{e}_{\;}^{2}}{18{r}_{1}^{\;}}$
設氫原子電離后具有的動能為${E}_{k}^{\;}$，根據(jù)能量守恒
${E}_{k}^{\;}={E}_{3}^{\;}+△E=\frac{23}{72}k\frac{{e}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
答：（1）試計算電子繞氫原子核在第1軌道上做勻速圓周運動時的動能為$\frac{k{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{1}^{\;}}$；
（2）①電子在第n軌道運動時氫原子的能量E_n的表達式為${E}_{n}^{\;}=-k\frac{{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{n}^{\;}}$（用m，e，r₁和k表示）
②氫原子乙電離出的電子的動能為$\frac{23}{72}k\frac{{e}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$．

點評 考查庫侖定律，掌握牛頓第二定律的應用，注意原子核的電量與電子電量相等，同時各軌道的能量是解題的關鍵，還要掌握能量守恒定律的內容．