Question

18．如圖所示，在空間內(nèi)有一直角坐標(biāo)系xOy，直線OP與x軸正方向夾角為30°，第一象限內(nèi)有兩個(gè)方向均垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，直線OP是它們的理想邊界，OP上方區(qū)域Ⅰ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在第四象限內(nèi)有一沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m、電荷量為q的質(zhì)子（不計(jì)重力及質(zhì)子對(duì)磁場(chǎng)、電場(chǎng)的影響）以速度v從O點(diǎn)沿OP成30°角方向垂直磁場(chǎng)進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ，質(zhì)子先后通過磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ后，恰好垂直通過x軸上的Q點(diǎn)（未畫出）進(jìn)入第四象限內(nèi)的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，最后從y軸上的A點(diǎn)與y軸負(fù)方向成60°角射出．求：
（1）區(qū)域II中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大�。�

Answer 1

分析 （1）質(zhì)子在兩個(gè)磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．根據(jù)圓的對(duì)稱性可知，質(zhì)子從A點(diǎn)出磁場(chǎng)I時(shí)的速度方向與OP的夾角為30⁰，即與x軸平行．在區(qū)域II中，由題分析可知，質(zhì)子運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{4}$圓周，由幾何知識(shí)作出軌跡，如圖．由幾何關(guān)系，得到質(zhì)子在兩個(gè)磁場(chǎng)中軌跡半徑與OA的關(guān)系，由牛頓第二定律研究?jī)蓚�(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系，求解區(qū)域II中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（2）由幾何知識(shí)求出Q點(diǎn)到O點(diǎn)的距離，質(zhì)子在第四象限電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由類平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)可以求出電場(chǎng)強(qiáng)度大�。�

解答 解：（1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律知：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{mv}{qB}$，
設(shè)質(zhì)子在區(qū)域Ⅰ的半徑為r₁、在區(qū)域Ⅱ的半徑為r₂，區(qū)域Ⅱ中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B′，質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系知質(zhì)子從C點(diǎn)出磁場(chǎng)Ⅰ時(shí)速度方向與OP的夾角為30°，所以質(zhì)子在區(qū)域Ⅱ中的軌跡為$\frac{1}{4}$圓周，質(zhì)子在區(qū)域Ⅰ中的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，
則：OC=r₁，r₂=$\frac{{r}_{1}}{2}$，即：B′=2B；
（2）Q點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為：s=r₁cos 30°+r₂，
質(zhì)子從A點(diǎn)射出時(shí)的水平分速度：v_x=vtan60°=$\sqrt{3}$v，
質(zhì)子進(jìn)入第四象限做類平拋運(yùn)動(dòng)，有：
v_x=at，其中：a=$\frac{F}{m}$=$\frac{qE}{m}$，即：$\sqrt{3}$v=$\frac{qE}{m}$t，
s=$\frac{1}{2}$×$\frac{qE}{m}$×t²，聯(lián)立解得：E=$\frac{3（\sqrt{3}-1）Bv}{2}$；
答：（1）區(qū)域II中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{3（\sqrt{3}-1）Bv}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子通過磁場(chǎng)的邊界時(shí)，如果邊界是直線，根據(jù)圓的對(duì)稱性得到，帶電粒子入射速度方向與邊界的夾角等于出射速度方向與邊界的夾角，這在處理有界磁場(chǎng)的問題常常用到．