Question

7．如圖為火車站裝載貨物的示意圖，AB段是距水平傳送帶裝置高為H=5m的光滑斜面，水平段BC使用水平傳送帶裝置，BC長L=8m，與貨物包的摩擦系數為μ=0.6，皮帶輪的半徑為R=0.2m，上部距車廂底水平面的高度h=0.45m．設貨物由靜止開始從A點下滑，經過B點的拐角處無能量損失．通過調整皮帶輪（不打滑）的轉動角速度ω可使貨物經C點被水平拋出后落在車廂上的不同位置（車廂足夠長，貨物不會撞到車廂壁），取g=10m/s²．
（1）當皮帶輪靜止時，請判斷貨物包能否在C點被水平拋出．若不能，請說明理由；若能，請算出貨物包在車廂內的落地點到C點的水平距離；
（2）當皮帶輪以角速度ω=20rad/s順時針勻速轉動時，求貨物包在車廂內的落地點到C點的水平距離；
（3）討論貨物包在車廂內的落地點到C點的水平距離s與皮帶輪轉動的角速度ω（順時針勻速轉動）之間的關系．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒求得貨物在B點的速度，然后對BC運動過程應用動能定理求得在C點的速度，即可由平拋運動規(guī)律求得距離；
（2）根據皮帶速度判斷貨物在C點的速度，然后由平拋運動規(guī)律求得距離；
（3）根據角速度得到皮帶速度，進而判斷速度判斷貨物在C點的速度，然后由平拋運動規(guī)律求得距離；

解答 解：（1）貨物在AB上運動只有重力做功，故由機械能守恒可得：$mgH=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{2gH}=10m/s$
貨物在B處的動能為：${E}_{kB}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=50m（J）$；
當皮帶輪靜止時，貨物在摩擦力作用下做勻減速運動，運動過程只有摩擦力做功；
設貨物可到達C點，那么貨物從B到C克服摩擦力做功W=μmgL=48m＜E_kB，故貨物可到達C點，由動能定理可得：貨物在C點的動能為：
E_kC=E_kB-W=2m（J）；
那么，貨物從C拋出的速度為：${v}_{C}=\sqrt{\frac{2{E}_{kC}}{m}}=2m/s$；
又有：$\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}=20m＞mg$
故貨物從C飛出后與傳送帶不接觸，無相互作用，那么貨物做平拋運動，則有：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.3s$
貨物包在車廂內的落地點到C點的水平距離為：
$x={v}_{C}t={v}_{C}•\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.6m$；
（2）當皮帶輪以角速度ω=20rad/s順時針勻速轉動時，BC段皮帶向右運動，速度為：v_皮=ωR=4m/s＞v_C；
故貨物到達C點時與皮帶速度相同，那么，貨物做平拋運動的初速度為：v_C′=v_皮=4m/s；
所以，貨物包在車廂內的落地點到C點的水平距離為：$x′={v}_{C}′t={v}_{C}′\sqrt{\frac{2h}{g}}=1.2m$；
（3）當皮帶速度v=ωR≤v_C，即為$ω≤\frac{{v}_{C}}{R}=10rad/s$時，貨物到C點時的速度為v_C，貨物包在車廂內的落地點到C點的水平距離為：s=x=0.6m；
若貨物在BC上在摩擦力作用下勻加速運動，那么由動能定理可得：$μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{C}{″}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
貨物在C處的速度為：${v}_{C}″=\sqrt{{{v}_{B}}^{2}+2μgL}=14m/s$；
那么，當皮帶速度為v_C＜v_皮≤v_C″，即10rad/s＜ω≤70rad/s時，貨物到達C點的速度與皮帶速度相同，貨物包在車廂內的落地點到C點的水平距離為：s=ωRt=0.06ω；
當皮帶速度v_皮＞v_C″，即ω＞70rad/s時，貨物到C點時的速度為v_C″，貨物包在車廂內的落地點到C點的水平距離為：s=v_C″t=4.2m；
答：（1）當皮帶輪靜止時，貨物包能在C點被水平拋出；貨物包在車廂內的落地點到C點的水平距離為0.6m；
（2）當皮帶輪以角速度ω=20rad/s順時針勻速轉動時，貨物包在車廂內的落地點到C點的水平距離為1.2m；
（3）當ω≤10rad/s時，貨物包在車廂內的落地點到C點的水平距離s為0.6m；
當10rad/s＜ω≤70rad/s時，貨物包在車廂內的落地點到C點的水平距離s=0.06ω；
當ω＞70rad/s時，物包在車廂內的落地點到C點的水平距離為4.2m．

點評 經典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．