Question

12．真空中有如圖所示的矩形區(qū)域，該區(qū)域總高度為2d，總寬度為6d，區(qū)域的上半部分有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外的水平均強(qiáng)磁場(chǎng)，下半部分有豎直向上的均強(qiáng)電場(chǎng)，x軸恰為電、磁場(chǎng)區(qū)域的水平分界線，區(qū)域正中心恰為坐標(biāo)原點(diǎn)O，在x=3.5d處有一與x軸垂直防止的足夠大的光屏（圖中未畫出），質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子源源不斷地從下邊界中點(diǎn)P由靜止開(kāi)始經(jīng)過(guò)均強(qiáng)電場(chǎng)加速，通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)后射入均強(qiáng)磁場(chǎng)中，粒子間的相互作用和粒子重力不計(jì)．
（1）若粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為$\fracd4wjqdv{2}$，求加速電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E₁的大小；
（2）若加速電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E₂為第（1）問(wèn)中所求E₁的9倍，求粒子離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域處的坐標(biāo)；
（3）若將光屏沿x軸正方向平移，粒子打在光屏上的位置始終不變，求粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）在電場(chǎng)中據(jù)動(dòng)能定理列出進(jìn)入磁場(chǎng)的速度表達(dá)式，在磁場(chǎng)中洛侖茲力提供向心力，列出相應(yīng)式子，聯(lián)立可求得加速電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大�。�
（2）當(dāng)加速電場(chǎng)變?yōu)?E₁  時(shí)，進(jìn)入磁場(chǎng)的速度也相應(yīng)地增大，半徑增大，軌跡是一條劣弧，由勾股定理求出橫軸坐標(biāo)．
（3）將場(chǎng)外的光屏向右平移后，粒子打在光屏上位置不變，說(shuō)明最后從（3d，d）離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向水平向右，則在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)奇數(shù)個(gè)$\frac{1}{4}$圓�。�那么就有3d=（2n+1）r，n取自然數(shù)．再分別求出粒子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)的時(shí)間，再相加就可以求出總時(shí)間．

解答 解：（1）在電場(chǎng)中：$q{E}_{1}d=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$$；q{E}_{1}d=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$              ①
    在磁場(chǎng)中：$q{v}_{1}B=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$                          ②
    又     ${r}_{1}=\fracaruwikn{2}$                                            ③
   由以上三式得：${E}_{1}=\frac{qd{B}^{2}}{8m}$                        ④
（2）在電場(chǎng)中：$q×9{E}_{1}d=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$               ⑤
   在磁場(chǎng)中：$q{v}_{2}B=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{{{r}_{2}}^{2}}$                           ⑥
  由由幾何關(guān)系得：$（{r}_{2}-x）^{2}+ubjvx0s^{2}={{r}_{2}}^{2}$           ⑦
  由④-⑦式得：$x=\frac{（3-\sqrt{5}）d}{2}$
                        $x=\frac{（3-\sqrt{5}）d}{2}$  （舍去）
  離開(kāi)磁場(chǎng)處的坐標(biāo)為  $[\frac{（3-\sqrt{5}）d}{2}，d]$
（3）由題意知：離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向沿x軸正方向．
  粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑應(yīng)滿足：
    ${r}_{n}=\frac{3d}{2n+1}$    （  n=1、2、3、4…）       ⑧
    $q{v}_{n}B=\frac{m{{v}_{n}}^{2}}{{r}_{n}}$                                        ⑨
   從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后先運(yùn)動(dòng)半個(gè)周再返回電場(chǎng)減速到零，又返回磁場(chǎng)時(shí)速度仍是v_n，如果
   周期運(yùn)動(dòng)，最后從磁場(chǎng)的右邊界水平射出，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)總時(shí)間；
     ${t}_{1}=（2n+1）\frac{T}{4}=\frac{（2n+1）πm}{2qB}$     （  n=1、2、3、4…）  
   帶電粒子在電場(chǎng)中的總時(shí)間：
    ${t}_{2}=（2n+1）\frac9w9xzm0{\frac{{v}_{1}}{2}}=\frac{2（2n+1）^{2}m}{3qB}$    （  n=1、2、3、4…）  
   帶電粒子在電磁場(chǎng)中的總時(shí)間為
   t=t₁+t₂=$\frac{（2n+1）（3π+8n+4）m}{6qB}$     （  n=1、2、3、4…）  
答：（1）若粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為$\fracj44skrt{2}$，加速電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E₁的大小為$\frac{qd{B}^{2}}{8m}$．
（2）若加速電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E₂為第（1）問(wèn)中所求E₁的9倍，粒子離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域處的坐標(biāo)為$[\frac{（3-\sqrt{5}）d}{2}，d]$．
（3）若將光屏沿x軸正方向平移，粒子打在光屏上的位置始終不變，粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$\frac{（2n+1）（3π+8n+4）m}{6qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的疑難問(wèn)題在于移動(dòng)光屏，粒子打在光屏的位置不變，這說(shuō)明粒子最后從（3d，d）點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向水平向右，則粒子在磁場(chǎng)中劃過(guò)奇數(shù)個(gè)$\frac{1}{4}$圓�。�     顯然3d=（2n+1）r，從知道粒子做$\frac{1}{4}$圓弧的個(gè)數(shù)，也就知道了粒子在磁場(chǎng)的時(shí)間，再用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子在電場(chǎng)中加速和減速的時(shí)間，也就求出了粒子在電磁場(chǎng)中的總時(shí)間．