Question

（2006?上海）如圖所示，將邊長(zhǎng)為a、質(zhì)量為m、電阻為R的正方形導(dǎo)線框豎直向上拋出，穿過寬度為b、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里，線框向上離開磁場(chǎng)時(shí)的速度剛好是進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的一半，線框離開磁場(chǎng)后繼續(xù)上升一段高度，然后落下并勻速進(jìn)入磁場(chǎng)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終存在著大小恒定的空氣阻力f，且線框不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)．求：
（1）線框在下落階段勻速進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₂；
（2）線框在上升階段剛離開磁場(chǎng)時(shí)的速度v₁；
（3）線框在上升階段通過磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析：本題（1）下落階段勻速進(jìn)入磁場(chǎng)說明線框所受力：重力　空氣阻力及向上的安培力的合力為零，即mg-F_安-f=0，而F_安=IaB=

Bav2

R

aB=

B2a2v2

R

，從而解得v₂．
（2）對(duì)比線框離開磁場(chǎng)后繼續(xù)上升一段高度（設(shè)為h），然后下落相同高度h到勻速進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)兩個(gè)階段受力情況不同，合力做功不同，由動(dòng)能定理：線框從離開磁場(chǎng)至上升到最高點(diǎn)的過程（mg+f）h=

1

2

mv₁²，線圈從最高點(diǎn)落至進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間：（mg-f）h=

1

2

mv₂²，兩式相比可以求出v₁．
（3）分析線框向上穿過磁場(chǎng)的過程能量轉(zhuǎn)化：減少的動(dòng)能（

1

2

mv₀²-

1

2

mv₁²）轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能mg（a+b）、線框中焦耳熱Q及空氣內(nèi)能f（a+b），根據(jù)能量守恒定律：

1

2

mv₀²-

1

2

mv₁²=Q+（mg+f）（a+b）（而v₀=2v₁）求解焦耳熱Q，需要特別注意的是線框向上穿過磁場(chǎng)是位移是a+b而不是b，這是易錯(cuò)的地方．

解答：解：（1）線框在下落階段勻速進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間有
mg=f+

B2a2v 2

R

，解得v₂=

(mg-f)R

B2a2

線框在下落階段勻速進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₂=

(mg-f)R

B2a2

（2）由動(dòng)能定理，線框從離開磁場(chǎng)至上升到最高點(diǎn)的過程
（mg+f）h=

1

2

mv₁²①
線圈從最高點(diǎn)落至進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間：
（mg-f）h=

1

2

mv₂²②
由①②得v₁=

mg+f mg-f

v2=

(mg)2-f2

R

B2a2

線框在上升階段剛離開磁場(chǎng)時(shí)的速度v₁=

(mg)2-f2

R

B2a2

（3）線框在向上通過磁場(chǎng)過程中，由能量守恒定律有：

1

2

mv₀²-

1

2

mv₁²=Q+（mg+f）（a+b）而v₀=2v₁
Q=

3

2

m[(mg)2-f2]

R2

B4a4

-(mg+f)(a+b)
線框在上升階段通過磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q=

3

2

m[(mg)2-f2]

R2

B4a4

-(mg+f)(a+b)

點(diǎn)評(píng)：此類問題的關(guān)鍵是明確所研究物體運(yùn)動(dòng)各個(gè)階段的受力情況，做功情況及能量轉(zhuǎn)化情況，選擇利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理或能的轉(zhuǎn)化與守恒定律解決針對(duì)性的問題，由于過程分析不明而易出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以，本類問題屬于難題中的易錯(cuò)題．