Question

有一光滑水平板，板的中央有一個小孔，孔內(nèi)穿入一根光滑輕線，輕線的上端系一質(zhì)量為M的小球，輕線的下端系著質(zhì)量分別為m₁和m₂的兩個物體，當(dāng)小球在光滑水平板上沿半徑為R的軌道做勻速率圓周運(yùn)動時(shí)，輕線下端的兩個物體都處于靜止?fàn)顟B(tài)．若將兩物體之間的輕線剪斷，則小球的線速度為多大時(shí)才能再次在水平板上做勻速率圓周運(yùn)動？

Answer 1

分析：小球在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動，由細(xì)線的拉力提供向心力，而輕線下端的物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，合力為零，在將兩物體之間的輕線剪斷之后，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，根據(jù)牛頓第二定律、平衡條件和機(jī)械能守恒定律求解．

解答：解：解法一：選小球?yàn)檠芯繉ο�，設(shè)小球沿半徑為R的軌道做勻速率圓周運(yùn)動時(shí)的線速度為v₀，根據(jù)牛頓第二定律有：
(m1+m2)g=M

v 2 0

R

… ①
當(dāng)剪斷兩物體之間的輕線后，輕線對小球的拉力減小，不足以維持小球在半徑為R的軌道上繼續(xù)做勻速率圓周運(yùn)動，于是小球沿切線方向逐漸偏離原來的軌道，同時(shí)輕線下端的物體m₁逐漸上升，且小球的線速度逐漸減�。�
假設(shè)物體m₁上升高度為h，小球的線速度減為v時(shí)，小球在半徑為（R+h）的軌道上再次做勻速率圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律有：
m1g=M

v2

R+h

…②
再選小球M、物體m₁與地球所組的系統(tǒng)為研究對象，研究兩物體間的輕線剪斷后物體m₁上升的過程，由于只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．選小球做勻速率圓周運(yùn)動的水平面為零勢面，設(shè)小球沿半徑為R的軌道做勻速率圓周運(yùn)動時(shí)物體m₁到水平板的距離為H，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：

1

2

M

v

2 0

-m1gH=

1

2

Mv2-m1g(H-h)…③
以上①②③三式聯(lián)立解得：v=

(3m1+m2)gR 3M

．
解法二：與解法一相同，首先列出①②兩式，然后再選小球、物體m₁與地球組成的系統(tǒng)為研究對象，研究兩物體間的輕線剪斷后物體m₁上升的過程，由于系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以小球M動能的減少量等于物體m₁重力勢能的增加量．即：

1

2

M

v

2 0

-

1

2

Mv2=m1gh…④
①②④式聯(lián)立解得：v=

(3m1+m2)gR 3M

．
答：小球的線速度為

(3m1+m2)gR 3M

時(shí)才能再次在水平板上做勻速率圓周運(yùn)動．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵知道圓周運(yùn)動向心力的來源和系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，知道穩(wěn)定時(shí)細(xì)線拉力等于下端物體的重力．