Question

【題目】如圖所示，一輕質(zhì)彈簧的上端固定在傾角為30°的光滑斜面頂部，下端栓接小物塊A，A通過(guò)一段細(xì)線與小物塊B相連，系統(tǒng)靜止時(shí)B恰位于斜面的中點(diǎn)。將細(xì)線燒斷，發(fā)現(xiàn)當(dāng)B運(yùn)動(dòng)到斜面底端時(shí)，A剛好第三次到達(dá)最高點(diǎn)。已知B的質(zhì)量m=2kg，彈簧的勁度系數(shù)k=l00N／m，斜面長(zhǎng)為L=5m，且始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，重力加速度g=l0m/s2。

(i)試證明小物塊A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；

(ii)求小物塊A振動(dòng)的振幅和周期。

Answer 1

【答案】：（i）證明小物塊A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)見(jiàn)解析；
（ii）0.1m； 0.4s．

【解析】（i）燒斷細(xì)線后A向上運(yùn)動(dòng)，受力平衡時(shí)，設(shè)彈簧的伸長(zhǎng)量為x0，則：kx0-mAgsin30°=0 ①
選A的平衡位置處為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為正方向建立坐標(biāo)系，用x表示A離開平衡位置的位移．當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到平衡位置下x位置時(shí)，物塊A受到的合力為：
F0=mAgsin30°-k（x-x0） ②
聯(lián)立①②得：F0=-kx，可知A受到的合外力總是與物塊的位移成反比，所以A做簡(jiǎn)諧振動(dòng)．
（ii）開始時(shí)AB組成的系統(tǒng)靜止時(shí)，設(shè)彈簧的伸長(zhǎng)量為x1，根據(jù)胡克定律有：
kx1-（mA+mB）gsin30°=0 ③
所以：
燒斷細(xì)線后A從此位置開始向上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)平衡位置運(yùn)動(dòng)的距離為物塊A的振幅，則：
A=x1x0＝
代入數(shù)據(jù)得：A=0.1m
燒斷細(xì)線后B向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則：mBgsin30°=mBa
設(shè)B到達(dá)斜面底端的時(shí)間為t，則：

A向上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)周期第一次到達(dá)最高點(diǎn)，則第三次到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間：t=2.5T
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立得：T=0.4s