Question

20．如圖所示，P為固定于地面的光滑四分之一圓軌道，軌道半徑R=0.45m，軌道末端切線水平．A、B為緊靠軌道依次放置的木板和平板小車，A、B的長(zhǎng)度均為l=0.8m，上表面都與P軌道末端切線平齊．一重物C（可視為質(zhì)點(diǎn)）從圓弧軌道頂端無(wú)初速度自由下滑，已知重物C與A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，均用μ₁表示，A與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.1，小車B與地面間的摩擦可忽略不計(jì)，A、B、C質(zhì)量均相同．求：（計(jì)算中可認(rèn)為最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
（1）若重物C滑上木板A時(shí)，A、B一起開(kāi)始向右滑動(dòng)，μ₁應(yīng)滿足什么條件？
（2）若μ₁=0.4，判斷重物C最終能否停在木板A或者小車B上？若能，求出相對(duì)靜止時(shí)C離所停物體左端的距離；若不能，求出重物C離開(kāi)該物體時(shí)的速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)滑動(dòng)的條件即可求出；
（2）C在P上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，由此求出C滑上A的速度；由牛頓第二定律分別求出A與C的加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出C是否滑過(guò)A；若能滑過(guò)A，然后設(shè)C最終停在B上，由動(dòng)量守恒求出它們的共同速度，最后結(jié)合功能關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）對(duì)AB整體受力分析，在水平方向它們受到C的向右的摩擦力與地面對(duì)A的向左的摩擦力，若它們一起向右滑動(dòng)，則有：
μ₁mg＞μ₂•2mg
 即：μ₁＞2μ₂=0.2
（2）設(shè)重物C到達(dá)軌道末端速度為v₀，該過(guò)程機(jī)械能守恒，則：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$   
有：${v}_{0}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.45}=3$m/s
滑上木板A后，在C到達(dá)A木板右端前C勻減速階段加速度大小記為a₁，
A、B一起勻加速運(yùn)動(dòng)加速度大小記為a₂，
受力分析
對(duì)C：μ₁mg=ma₁，所以：${a}_{1}={μ}_{1}g=0.4×10=4m/{s}^{2}$
對(duì)A：μ₁mg-μ₂•2mg=2ma₂，
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{2}=1m/{s}^{2}$
設(shè)C從滑上木板A到到達(dá)A右端的時(shí)間為t，則C的位移：${s}_{C}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
A的位移：${s}_{A}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
又s_C-s_A=l
聯(lián)立解得：t₁=0.4 s   t₂=0.8 s（舍去）
故此時(shí)：v_c=v₀-a₁t₁=1.4 m/s
v_A=v_B=a₂t₂=0.4 m/s
此后AB分離；
 假設(shè)最終C與小車共速，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，選取向右為正方向，設(shè)共同速度為v，
有：mv_C+mv_B=2mv，
代入數(shù)據(jù)得：v=0.9 m/s
設(shè)最終C距離B左端l′，根據(jù)功能關(guān)系有：${μ}_{1}mgl′=\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$
解得l′=$\frac{1}{16}$m＜0.8m，則假設(shè)成立
即重物C最終停在距離小車B左端$\frac{1}{16}$m處
答：（1）若重物C滑上木板A時(shí)，A、B一起開(kāi)始向右滑動(dòng)，μ₁應(yīng)大于0.2；
（2）若μ₁=0.4，重物C最終與B一起運(yùn)動(dòng)，最終停在距離小車B左端$\frac{1}{16}$m處．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確小滑塊的運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式判斷相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況．