Question

9．如圖所示，x軸與水平傳送帶重合，坐標原點O在傳送帶的左端，傳送帶長L=8m，勻速運動的速度v₀=5m/s．一質(zhì)量m=1kg的小物塊輕輕放在傳送帶上x_P=2m的P點，小物塊隨傳送帶運動到Q點后恰好能沖上光滑圓弧軌道的最高點N點．小物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）N點的縱坐標；
（2）小物塊在傳送帶上運動產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）由動力學關(guān)系求得小物塊到達Q點的速度，再根據(jù)動能定理求得N點的高度，從而確定N點的縱坐標；
（2）小物塊在傳送帶上產(chǎn)生的熱量等于摩擦力與相對位移的乘積．

解答 解：（1）假定小物塊從P到Q在摩擦力作用下都作勻加速運動有：
f=μmg=ma
解得小物塊加速度為：a=μg=0.5×10m/s²=5m/s²
v²=2a（L-x_p）
可得：$v=\sqrt{2a（L-{x}_{p}）}=\sqrt{2×5×（8-2）}m/s$=$\sqrt{60}m/s＞5m/s$
可得小物塊不是全程勻加速運動，故小物塊的末速度和傳送帶相同，即v_Q=5m/s
小物塊從Q到N的過程中能到達最高點，則在N滿足：$mg=m\frac{{v}_{N}^{2}}{\frac{1}{2}{y}_{N}}$    
從Q到N由動能定理有：$-mg{y}_{N}=\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
由以上兩式代入數(shù)據(jù)可解得：y_N=1m
（2）由（1）分析知，小物塊在傳送帶上末速度為：v=v₀=5m/s
小物塊加速過程中的位移為：x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}=\frac{{5}^{2}}{2×5}m=2.5m$
小物塊加速時間為：t=$\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{5}{5}s=1s$
傳送帶的位移為：x′=v₀t=5×1m=5m
所以因摩擦產(chǎn)生的熱量：Q=f△x=0.5×1×10×（5-2.5）J=12.5J
答：（1）N點的縱坐標為1m；
（2）小物塊在傳送帶上運動產(chǎn)生的熱量12.5J．

點評 本題是傳送帶與圓周運動的綜合題，關(guān)鍵是抓住物體在傳送帶上的運動特征，并能根據(jù)豎直面內(nèi)圓周運動通過最高點的臨界條件分析求解是關(guān)鍵．