Question

1879年美國物理學(xué)家霍爾在研究載流導(dǎo)體在磁場中受力情況時，發(fā)現(xiàn)了一種新的電磁效應(yīng)：將導(dǎo)體置于磁場中，并沿垂直磁場方向通入電流，則在導(dǎo)體中垂直于電流和磁場的方向會產(chǎn)生一個橫向電勢差，這種現(xiàn)象后來被稱為霍爾效應(yīng)，這個橫向的電勢差稱為霍爾電勢差．
（1）如圖甲所示，某長方體導(dǎo)體abcda′b′c′d′的高度為h、寬度為l，其中的載流子為自由電子，其電荷量為e，處在與ab b′a′面垂直的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度為B₀．在導(dǎo)體中通有垂直于bcc′b′面的電流，若測得通過導(dǎo)體的恒定電流為I，橫向霍爾電勢差為U_H，求此導(dǎo)體中單位體積內(nèi)自由電子的個數(shù)．
（2）對于某種確定的導(dǎo)體材料，其單位體積內(nèi)的載流子數(shù)目n和載流子所帶電荷量q均為定值，人們將H=

1

nq

定義為該導(dǎo)體材料的霍爾系數(shù)．利用霍爾系數(shù)H已知的材料可以制成測量磁感應(yīng)強度的探頭，有些探頭的體積很小，其正對橫截面（相當于圖14甲中的ab b′a′面）的面積可以在0.1cm²以下，因此可以用來較精確的測量空間某一位置的磁感應(yīng)強度．如圖乙所示為一種利用霍爾效應(yīng)測磁感應(yīng)強度的儀器，其中的探頭裝在探桿的前端，且使探頭的正對橫截面與探桿垂直．這種儀器既可以控制通過探頭的恒定電流的大小I，又可以監(jiān)測出探頭所產(chǎn)生的霍爾電勢差U_H，并自動計算出探頭所測位置磁場的磁感應(yīng)強度的大小，且顯示在儀器的顯示窗內(nèi)．
①在利用上述儀器測量磁感應(yīng)強度的過程中，對探桿的放置方位有何要求；
②要計算出所測位置磁場的磁感應(yīng)強度，除了要知道H、I、U_H外，還需要知道哪個物理量，并用字母表示．推導(dǎo)出用上述這些物理量表示所測位置磁感應(yīng)強度大小的表達式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)電流的微觀表達式I=nevS，結(jié)合穩(wěn)定時電子所受的電場力和洛倫茲力平衡求出導(dǎo)體中單位體積內(nèi)自由電子的個數(shù)．
（2）使探桿與磁場方向平行；探頭的正對橫截面與磁場方向垂直，此時形成的霍爾電勢差最大．根據(jù)電流的微觀表達式，抓住電子所受電場力和洛倫茲力平衡，結(jié)合霍爾系數(shù)求出磁感應(yīng)強度的表達式，通過表達式得出需要測量的物理量．

解答：解：（1）設(shè)單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)為n，自由電子定向移動的速率為v，
則有    I=nehlv
當形成恒定電流時，自由電子所受電場力與洛侖茲力相等，因此有
evB₀=e

UH

h

解得n=

B0I

eUHl

．
（2）①應(yīng)調(diào)整探桿的放置方位（或調(diào)整探頭的方位），使霍爾電勢差達到最大（或使探桿與磁場方向平行；探頭的正對橫截面與磁場方向垂直；ab b′a′面與磁場方 向垂直）
②設(shè)探頭中的載流子所帶電荷量為q，根據(jù)上述分析可知，探頭處于磁感應(yīng)強度為B的磁場中，當通有恒定電流I，產(chǎn)生最大穩(wěn)定霍爾電壓U_H時，有  qvB=q

UH

h

又因  I=nqhlv和H=

1

nq

聯(lián)立可解得  B=

UHl

HI

所以，還需要知道探頭沿磁場方向的寬度l．
答：（1）導(dǎo)體中單位體積內(nèi)自由電子的個數(shù)為

B0I

eUHl

．
（2）①應(yīng)調(diào)整探桿的放置方位（或調(diào)整探頭的方位），使霍爾電勢差達到最大（或使探桿與磁場方向平行；探頭的正對橫截面與磁場方向垂直；ab b′a′面與磁場方 向垂直）．
②還需要知道探頭沿磁場方向的寬度l．

點評：解決本題的關(guān)鍵掌握電流的微觀表達式，以及知道穩(wěn)定時電子所受的電場力和洛倫茲力平衡．