Question

如圖所示，一根長(zhǎng)L=5

2

cm的均勻細(xì)桿OB，可以繞通過(guò)其一端的水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿最初處于水平位置，桿上離O軸a=5cm處放有一小物體（視為質(zhì)點(diǎn)），桿與其上的小物體均處于靜止?fàn)顟B(tài)．若此桿突然以角速度ω勻速繞O軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．則為使小物體與桿不相碰，角速度ω不能小于臨界值______rad/s，若桿以這個(gè)臨界角速度ω₀轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小物體在豎直方向上與桿上某點(diǎn)的距離最大（設(shè)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過(guò)90°），試寫(xiě)出求解這個(gè)t的方程：______（用a、g、t和ω₀來(lái)表示）．

Answer 1

桿以角速度ω勻速繞O軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)桿與豎直反向夾角為θ，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t；
則物體正下方的桿上點(diǎn)的速度為：v=ωr=ω?

a

cosθ

；
該速度的豎直分量為：v_y=v?cosθ=ω?

a

cosθ

?cosθ=ωa；
桿再次接觸物體的臨界位置就是桿的端點(diǎn)正好在小物體的正下方，此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為45°，即

π

4

，物體下降距離為h=a=5cm；
根據(jù)h=

1

2

gt′2，解得：t′=0.1s；
故桿的角速度為：ω=

π 4

0.1

=2.5πrad/s；
當(dāng)物體速度與物體正下方的桿上點(diǎn)的速度的豎直分量相等時(shí)距離最大，此時(shí)有：
gt=v_y
v_y=ω₀

a

cosω0t

?cosω₀t=ω₀a
即gt=ω₀a；
故答案為：

5

2

π，gt=ω₀a．