Question

如圖所示，A、B兩小球用輕桿連接，A球只能沿內壁光滑的豎直滑槽運動，B球處于光滑水平面內．開始時桿豎直，A、B兩球靜止．由于微小的擾動，B開始沿水平面向右運動．已知A球的質量與B球的質量均為m=1kg，桿長L為=0.2m．
（1）某同學用 mAgL=

1

2

mAv2+

1

2

mBv2…，求得A球著地時的速度．你認為正確嗎？若正確，請接著進行下面的計算；若不正確，請你給出正確的答案．
（2）A球機械能最小時，水平面對B球的支持力為多大？
（3）當A球機械能最小時，桿與豎直方向夾角的余弦值為多大？

Answer 1

分析：（1）A、B兩球沿著桿方向的分速度相等；
（2）A球機械能最小時，B球機械能最大，故B球動能最大，速度最大，處于平衡狀態(tài)，紫支持力和重力平衡；
（3）A、B兩球沿著桿方向的分速度相等，再根據機械能守恒定律列式求解出B球速度表達式，再進行分析并求解極值．

解答：解：（1）不準確，因為A球剛著地時，B球速度為零；
正確解法如下：設此時A球速度為v，由系統(tǒng)機械能守恒得：mAgL=

1

2

mAv2，解得v=

2gL

=2m/s；
（2）當A球機械能最小時，B球速度最大，此時B球的加速度為零，則桿對球的作用力為零，設小球受到的支持力為N，對B球受力分析可得：
N=m_Bg=10N；
（3）設滿足題干條件時桿與豎直方向的夾角為θ，A、B兩球的速度各為v_A、v_B，系統(tǒng)滿足機械能守恒，則：
mAgL(1-cosθ)=

1

2

mA

v

2 A

+

1

2

mB

v

2 B

且v_A和v_B沿桿方向分速度大小相等，即v_Acosθ=v_Bsinθ
聯(lián)立以上兩式解得：vB=

2gL(1-cosθ)cos2θ

當A球機械能最小時，v_B達最大
上式可以寫成：
vB=

2gL(1-cosθ)cos2θ

=

gL(2-2cosθ)cosθ?cosθ

即當cosθ=（2-2cosθ）時，v_B最大，亦即此時A球機械能最小，所以cosθ=

2

3

．
答：（1）解法不正確，A的速度為2m/s；
（2）A球機械能最小時，水平面對B球的支持力為10N；
（3）當A球機械能最小時，桿與豎直方向夾角的余弦值為

2

3

．

點評：該題突破口是系統(tǒng)機械能守恒（墻和地對球的彈力不做功），由繩物模型可知，B的速度沿桿方向的分速度等于桿的速度，越向下運動桿的速度越小，當A剛要到地面時桿的速度為零．即B的速度為零．