Question

11．如圖所示的xoy坐標(biāo)系中，在第Ⅰ象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場，第Ⅳ象限內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，從y軸上的P點(diǎn)垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場，經(jīng)過x軸上的Q點(diǎn)以速度v進(jìn)入磁場，方向與x軸正向成30°．若粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)后恰好能再回到電場，已知$\overrightarrow{OQ}$=3L，粒子的重力不計(jì)，電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小均求知，求
（1）OP的距離；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（3）若在O點(diǎn)右側(cè)22L處放置一平行于y軸的擋板，粒子能擊中擋板并被吸收，求粒子從P點(diǎn)進(jìn)入電場到擊中擋板的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平行四邊形定則求出粒子在沿電場方向和垂直電場方向上的速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出OP間的距離．
（2）粒子恰好能再回到電場，結(jié)合幾何關(guān)系求出臨界半徑，結(jié)合半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求出一個(gè)周期內(nèi)在x軸上發(fā)生的距離，確定出粒子能完成周期運(yùn)動(dòng)的次數(shù)．結(jié)合在電場中和磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，以及最后2L內(nèi)的時(shí)間求出粒子從P點(diǎn)進(jìn)入電場到擊中擋板的時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在Q點(diǎn)進(jìn)入磁場時(shí)，v_x=vcos30°，
v_y=vsin30°，
粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間t=$\frac{3L}{{v}_{x}}$，
OP間的距離$y=\frac{{v}_{y}}{2}t=\frac{\sqrt{3}L}{2}$．
（2）粒子恰好能回到電場，即粒子在磁場中軌跡的左側(cè)恰好與y軸相切，設(shè)半徑為R
R+Rsin30°=3L，
qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得B=$\frac{mv}{2qL}$．
（3）粒子在電場和磁場中做周期性運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖


一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)過程中，在x軸上發(fā)生的距離為
△L=3L+3L-2Rsin30°=4L，
P點(diǎn)到擋板的距離為22L，所以粒子能完成5個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)，然后在電場中沿x軸運(yùn)動(dòng)2L時(shí)擊中擋板．
5個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)中，在電場中的時(shí)間為
${t}_{1}=5×\frac{3L×2}{{v}_{x}}=\frac{20\sqrt{3}L}{v}$，
磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
${t}_{2}=5×\frac{5πm}{3qB}=\frac{50πL}{3q}$，
剩余2L中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 ${t}_{3}=\frac{2L}{{v}_{x}}=\frac{4\sqrt{3}L}{3v}$，
總時(shí)間t_總=t₁+t₂+t₃=$\frac{（64\sqrt{3}+50π）L}{3v}$．  
答：（1）OP的距離為$\frac{\sqrt{3}L}{2}$；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{mv}{2qL}$；
（3）粒子從P點(diǎn)進(jìn)入電場到擊中擋板的時(shí)間為$\frac{（64\sqrt{3}+50π）L}{3v}$．

點(diǎn)評 本題考查了帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)，掌握處理類平拋運(yùn)動(dòng)的方法，抓住等時(shí)性結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解，對于粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)，會確定圓心、半徑和圓心角．