Question

12．如圖所示，在矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B．在ad邊中點O的粒子源，在t=0時刻垂直于磁場發(fā)射出大量的同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與Od的夾角分布在0～180°范圍內(nèi)．已知沿Od方向發(fā)射的粒子在t=t₀時刻剛好從磁場邊界cd上的p點離開磁場，ab=1.5L，bc=$\sqrt{3}$L，粒子在磁場中做圓周運動的半徑R=L，不計粒子的重力和粒子間的相互作用，求：
（1）粒子在磁場中的運動周期T；
（2）粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（3）粒子在磁場中運動的最長時間．

Answer 1

分析 （1、2）根據(jù)幾何關系求出粒子在磁場中運動的圓心角，結合粒子的運動時間求出運動的周期，根據(jù)周期公式求出粒子的比荷．
（3）在磁場中運動時間最長的粒子的軌跡的弦為ob，結合幾何關系求出圓心角，從而得出粒子在磁場中運動的時間．

解答 解：（1）初速度沿Od方向發(fā)射的粒子在磁場中運動的軌跡如圖1，其圓心為θ，
由幾何關系有：$sinθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以：θ=60°，
$\frac{t_0}{T}=\frac{θ}{360°}$，
解得：T=6t₀
（2）粒子做圓周運動的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得：$qvB=m\frac{v^2}{R}$$v=\frac{2πR}{T}$
所以：$T=\frac{2πm}{qB}$
解得$\frac{q}{m}=\frac{π}{{3B{t_0}}}$
（3）如圖2所示，在磁場中運動時間最長的粒子的軌跡的弦Ob=$\sqrt{3}L$，圓軌跡的半徑為L，
所以：Ob弦對應的圓心角為120°，
粒子在磁場中運動的最長時間${t_{max}}=\frac{T}{3}=2{t_0}$．
答：（1）粒子在磁場中的運動周期T為6t₀；
（2）粒子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{π}{3B{t}_{0}}$；
（3）粒子在磁場中運動的最長時間為2t₀．

點評 本題的解題關鍵是畫出粒子的運動軌跡，根據(jù)幾何知識確定隱含的極值條件和粒子運動軌跡對應的圓心角．