Question

14．半徑為R的半球玻璃磚的截面圖如圖所示，MN為玻璃磚的直徑，虛線為過球心的對稱軸，光屏平行MN所在平面防止，到MN所在平面的距離為2R．一束半徑為R的單色平行光垂直MN所在平面射入玻璃磚，經(jīng)玻璃磚折射后照在光屏上，已知此玻璃磚的折射率為$\sqrt{2}$，求：
①該單色光在玻璃磚中的傳播速度；
②光屏上被單色光照亮區(qū)域的半徑．

Answer 1

分析 ①已知玻璃磚的折射率，根據(jù)公式v=$\frac{c}{n}$求該單色光在玻璃磚中的傳播速度；
②當光線玻璃磚圓弧面上恰好發(fā)生全反射時，折射角最大，畫出光路圖，根據(jù)臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$和幾何知識結(jié)合求解光屏上被單色光照亮區(qū)域的半徑．

解答 解：①該單色光在玻璃磚中的傳播速度為 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c；
②如圖，光線在A點恰好發(fā)生全反射，其折射光線射到光屏上E點，OE等于光屏上被單色光照亮區(qū)域的半徑．
根據(jù)臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$得 C=45°
根據(jù)幾何知識可得 FD=$\sqrt{2}$R，DO=2R-FD=（2-$\sqrt{2}$）R．
BD=FD-FB=$\sqrt{2}$R-$\frac{\sqrt{2}}{2}$R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R
AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R
△ABD∽△EOD得 $\frac{AB}{EO}$=$\frac{BD}{DO}$
解得 EO=（2-$\sqrt{2}$）R．
答：①該單色光在玻璃磚中的傳播速度為$\frac{\sqrt{2}}{2}$c；
②光屏上被單色光照亮區(qū)域的半徑是（2-$\sqrt{2}$）R．

點評 解決本題的關(guān)鍵是掌握全反射的條件，作出光路圖，靈活運用數(shù)學知識幫助解答．