Question

圖中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空間存在一磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向外。O是MN上的一點(diǎn)，從O點(diǎn)可以向磁場(chǎng)區(qū)域發(fā)射電量為+q、質(zhì)量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度可在紙面內(nèi)各個(gè)方向。已知先后射入的兩個(gè)粒子恰好在磁場(chǎng)中給定的P點(diǎn)相遇，P到O的距離為L。不計(jì)重力及粒子間的相互作用。
(1)求所考察的粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑。
(2)求這兩個(gè)粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔。

Answer 1

（1）R＝　　　Δt＝　　　　　　　

(1)設(shè)粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由牛頓第二定律，有：

　　　　　qvB＝m
得：R＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
(2)如圖所示，以O(shè)P為弦可畫兩個(gè)半徑相同的圓，分別表示在P點(diǎn)相遇的兩個(gè)粒子的軌道。圓心和直徑分別為O₁、O₂和OO₁Q₁、OO₂Q₂，在O處兩個(gè)圓的切線分別表示兩個(gè)粒子的射入方向，用θ表示它們之間的夾角。由幾何關(guān)系可知：
∠PO₁Q₁＝∠PO₂Q₂＝θ   　　　　　　　　　　　�、�
從O點(diǎn)射入到相遇，粒子1的路程為半圓周加弧長(zhǎng)Q₁P
Q₁P＝Rθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③
粒子2的路程為半個(gè)圓周減弧長(zhǎng)PQ₂
　　　PQ₂＝Rθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�
粒子1運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₁＝　　　　　　　　　　�、�
其中T為圓周運(yùn)動(dòng)的周期．粒子2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
t₂＝　　　　　　　　　　　�、�
兩粒子射入的時(shí)間間隔：
　　　　　　　　Δt＝t₁－t₂＝2　　　　　　　　　　　⑦
因　　　　　　　Rcos＝　　　　　　　　　　　　
得　　　　　　　　θ＝2arccos                     ⑧
由①、⑦、⑧三式得：
　　　　　　　　　Δt＝　　　　　　　⑨
評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分。第(1)問3分。第(2)問12分。⑤、⑥式各4分，⑧、⑨式各