Question

7．如圖所示，在地面附近，坐標(biāo)系xOy在豎直平面內(nèi)，空間有沿水平方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在x＜0的區(qū)域內(nèi)還有沿x軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E，一個帶正電油滴經(jīng)圖中x軸上的M點(diǎn)，沿著與水平方向成a=30°角斜向下做直線運(yùn)動，進(jìn)入x＞0的區(qū)域．要使油滴進(jìn)入x＞0的區(qū)域后能在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動．需在x＞0的區(qū)域內(nèi)加一個勻強(qiáng)電場，若帶電油滴做圓周運(yùn)動通過x軸上的N點(diǎn)，且MO=NO．求：
（1）在x＞0的區(qū)域內(nèi)所加的電場強(qiáng)度的大小和方向；
（2）油滴從x軸上的M點(diǎn)到達(dá)x軸上的N點(diǎn)所用的時間．

Answer 1

分析 （1）帶電油滴沿著直線MP做勻速運(yùn)動，分析受力情況，由平衡條件判斷油滴的電性．油滴沿著直線MP做勻速運(yùn)動，合力為零，作出油滴的受力示意圖；
在x＞0的區(qū)域，油滴要做勻速圓周運(yùn)動，其所受的電場力必與重力平衡，則可由平衡條件列式求得場強(qiáng)．
（2）分段求時間，勻速直線運(yùn)動過程，根據(jù)位移和速率求解；勻速圓周運(yùn)動過程，畫出軌跡，根據(jù)軌跡的圓心角求時間．

解答 解：（1）帶電油滴沿著直線MP做勻速運(yùn)動，分析受力情況如圖1，可知油滴帶正電．
油滴受三力作用（見圖1）沿直線勻速運(yùn)動由平衡條件有：qvBsin30°=qE…①
  mgtan30°=qE…②
解得：v=$\frac{2E}{B}$…③
在x＞0的區(qū)域，油滴要做勻速圓周運(yùn)動，其所受的電場力必與重力平衡，
由于油滴帶正電，所以場強(qiáng)方向豎直向上．
設(shè)該電場的場強(qiáng)為E′，則有qE′=mg…④
由②、④式聯(lián)立解得E′=$\sqrt{3}$E…⑤，方向豎直向上；
（3）見圖2，弧PN為油滴做圓周運(yùn)動在x＞0、y＜0區(qū)域內(nèi)形成的圓弧軌道所對應(yīng)的弦，
PO′是過P點(diǎn)所作的垂直于MP的直線，由于MO=NO，由幾何關(guān)系容易知道O′點(diǎn)一定是圓心，
且＜PO′N=120°…⑥
設(shè)油滴從M點(diǎn)到P點(diǎn)和從P點(diǎn)到N點(diǎn)經(jīng)歷的時間分別為t₁和t₂
做勻速圓周運(yùn)動時有qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑦
由②、③、⑦由式解得：R=$\frac{2\sqrt{3}{E}^{2}}{g{B}^{2}}$…⑧
t₁=$\frac{MP}{v}$=$\frac{Rcot30°}{v}$=$\frac{3E}{gB}$…⑨
t₂=$\frac{120°}{360°}$T=$\frac{1}{3}$×$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πR}{3v}$=$\frac{2\sqrt{3}πE}{3gB}$…⑩
全過程經(jīng)歷的時間為t=t₁+t₂=$\frac{3E}{gB}$+=$\frac{2\sqrt{3}πE}{3gB}$；
答：（1）在x＞0空間內(nèi)所加電場的場強(qiáng)大小為$\sqrt{3}$E，方向：豎直向上．
（2）油滴從x軸上的M點(diǎn)開始到達(dá)x軸上的N點(diǎn)所用的時間為：$\frac{3E}{gB}$+=$\frac{2\sqrt{3}πE}{3gB}$．

點(diǎn)評 本題是帶電體在復(fù)合場中運(yùn)動的類型，分析受力情況和運(yùn)動情況是基礎(chǔ)，小球做勻速圓周運(yùn)動時，畫出軌跡，由幾何知識確定圓心角是求解運(yùn)動時間的關(guān)鍵．