Question

如圖所示，在光滑水平面上有一質量為M，長為L的長木板，另一小物塊質量為m，它與長木板間的動摩擦因數(shù)為μ，開始時，木板與小物塊均靠在與水平面垂直的固定擋板處，以共同的速度v₀向右運動，當長板與右邊固定豎直擋板碰撞后，速度反向，大小不變，且左右擋板之間距離足夠長．?
（1）試求物塊不從長木板上落下的條件．
（2）若上述條件滿足，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s．試計算整個系統(tǒng)在第五次碰撞前損失的所有機械能．

Answer 1

分析：（1）由于小物塊與長木板存在摩擦力，系統(tǒng)的機械能不斷減少，所以小物塊第一次與擋板碰撞后兩者相對速度最大，第1次小物塊若不能從長木板上掉下，往后每次相對滑動的距離會越來越小，更不可能掉下．第一次碰撞后，物塊恰好不從木板上掉下時，兩者速度相同，而且物塊恰好滑到木板的另一端，根據(jù)動量守恒定律求出第一次碰撞后兩者的共同速度，由能量守恒定律求出長木板的長度L最小值．
（2）根據(jù)動量守恒定律求出4次碰撞后物塊與木板的共同速度，尋找規(guī)律，再求解整個系統(tǒng)在第5次碰撞前損失的所有機械能．

解答：解：（1）設第一次碰撞后速度為v₁，第n次碰撞后速度為v_n，每次碰撞后，由于兩擋板距離足夠長，物塊與長木板都能達到相對靜止，第一次若不能掉下，往后每次滑動距離越來越短，更不可能掉下．由動量守恒定律和能量守恒定律知?
（M-m）v₀=（M+m）v₁ ①?
mgμL=

1

2

（m+M）

v

2 0

-（M+m）

v

2 1

 ②?
由①②解得L=

2M v 2 0

μ(M+m)g

當木板長大于L即可，即L≥

2M v 2 0

μ(M+m)g

?
（2）第二次碰撞前，有（M-m）v₀=（M+m）v₁?
第三次碰撞前，（M-m）v₁=（M+m）v₂?
第n次碰撞前?（M-m）v_n-2?=（M+m）v_n-1?v_n-1?=(

M-m

M+m

)n-1v0?
第五次碰撞前v4=(

M-m

M+m

)4v0
故第五次碰撞前損失的總機械能為?△E=

1

2

(M+m)

v

2 0

-

1

2

(M+m)

v

2 4

?
代入數(shù)據(jù)解得：△E=148.1J?
答：
（1）當木板長大于L即可，即L≥

2M v 2 0

μ(M+m)g

?物塊不從長木板上落下．
（2）若上述條件滿足，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s．整個系統(tǒng)在第五次碰撞前損失的所有機械能為148.1J．

點評：本題采用數(shù)學歸納法研究多次碰撞過程遵守的規(guī)律，考查分析和處理復雜運動過程的能力．