Question

（2010?平頂山模擬）如圖所示，一小球從A點(diǎn)以某一水平向右的初速度出發(fā)，沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后，進(jìn)入半徑R=10cm的光滑樹枝圓形軌道，圓形軌道間不相互重疊，即小球離開圓形軌道后可繼續(xù)向C點(diǎn)右側(cè)有一壕溝，C、D兩點(diǎn)的豎直高度h=0.8cm，水平距離s=1.2cm，水平軌道AB長(zhǎng)為L(zhǎng)₁=1m，BC長(zhǎng)為L(zhǎng)₂=3m．小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)u=0.2，重力加速度g=10m/s²，重力加速度g=10m/s²，則：
（1）若小球恰能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)，求小球在A點(diǎn)的初速度？
（2）若小球既能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)，又不能掉進(jìn)壕溝，求小球在A點(diǎn)的初速度的范圍是多少？

Answer 1

分析：（1）小球恰能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律可求出小球經(jīng)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度．根據(jù)動(dòng)能定理分別研究小球從B點(diǎn)到軌道最高點(diǎn)的過(guò)程和A→B過(guò)程，聯(lián)立求解小球在A點(diǎn)的初速度．
（2）若小球既能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)，又不能掉進(jìn)壕溝，有兩種情況：第一種情況：小球停在BC間；第二種情況：小球越過(guò)壕溝．若小球恰好停在C點(diǎn)，由動(dòng)能定理求出小球的初速度．得出第一種情況下小球初速度范圍．若小球恰好越過(guò)壕溝，由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)求出小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求出初速度，得到初速度范圍．

解答：解：（1）小球恰能通過(guò)最高點(diǎn)    mg=m?

v2

R

  ①
由B到最高點(diǎn)         

1

2

mvB2=

1

2

mv2+mg(2R) ②
由A→B-μmgL1=

1

2

mvB2-

1

2

mvA2  ③
解得：在A點(diǎn)的初速度v_A=3m/s  ④
（2）若小球恰好停在C處，對(duì)全程進(jìn)行研究，則有：
-μmg（L+L′）=0-

1

2

mv′2，解得v′=4m/s．
所以當(dāng)3m/s≤v_A≤4m/s時(shí)，小球停在BC間．
 若小球恰能越過(guò)壕溝時(shí)，則有
   h=

1

2

gt2，s=vt，
又-μmg（L+L′）=

1

2

mv2-

1

2

mv″2
解得，v″=5m/s
所以當(dāng)v_A≥5m/s，小球越過(guò)壕溝．
答：（1）若小球恰能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)，小球在A點(diǎn)的初速度是3m/s．
（2）若小球既能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)，又不能掉進(jìn)壕溝，小球在A點(diǎn)的初速度的范圍是3m/s≤v_A≤4m/s或v_A≥5m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)和動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用，注意分析臨界狀態(tài)，把握臨界條件是重點(diǎn)．