Question

10．如圖所示斜面AB和豎直光滑的半圓弧軌道在B點相切，圓弧直徑BC與斜面垂直，O為圓心，圓軌道半徑R=0.5m，輕質彈簧的一端固定在A點、處于自然狀態(tài)時另一端在斜面上的D點，斜面AD部分光滑，DB部分粗糙斜，斜面傾角θ=53°，一質量m=1kg的小物塊以初速度v_c從C點沿圓弧切線進入軌道，小物塊恰能沿軌道運動并壓縮彈簧至P點時速度為0，DP兩點間的距離S=0.2m，sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s²．
（1）若小物塊第一次經(jīng)過D點的速度為V_d=6m/s，求彈簧被壓縮到P點時的彈性性能E；
（2）求小物塊的初速度v₀；
（3）若BD間距L=2.5m，為使小物體在運動過程中始終不會離開軌道，求小物塊與斜面DB間的動摩擦因數(shù)的最小值μ．

Answer 1

分析 （1）從D到P，物塊的機械能轉化為彈簧的彈性勢能，根據(jù)功能關系列式求解即可；
（2）小物塊恰好沿軌道運動，說明在O點正上方的最高點（設為E），正好有重力提供向心力，設速度為v，則有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$；
從C到E，根據(jù)機械能守恒可求出C點的速度；
（3）過O點做水平線交圓弧與F點．要讓小球不離開軌道，則小球到達F點速度為零，或者小球沿圓弧能夠做位置的圓周運動，而根據(jù)題目說開始恰好經(jīng)過最高點E，則返回時由于在BD間要克服摩擦力做功，因此不可能做完整的圓周運動，故小球不離開軌道，則最高只能到F點，且速度為零，然后根據(jù)能量守恒定律，確定摩擦因數(shù)的最小值．

解答 解：（1）從D到P，物塊的機械能轉化為彈簧的彈性勢能，根據(jù)功能關系，有：
E=$\frac{1}{2}$mv_d²+mgSsin53°=$\frac{1}{2}×1×{6}^{2}+1×10×0.2×0.8$=19.6J
（2）小物塊恰好沿軌道運動，在最高點，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
從C到E，根據(jù)機械能守恒，有：
-mgR（1-cos53°）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得：
v₀=$\sqrt{gR（3-2cos53°）}$=$\sqrt{10×0.5×（3-2×0.6）}$=3m/s
（3）對從開始到與圓心等高點過程，根據(jù)功能關系，有：
mg（2Rcos53°）-2μmgcos53°L=0
解得：
μ=$\frac{R}{L}$=$\frac{0.5m}{2.5m}=0.2$
答：（1）若小物塊第一次經(jīng)過D點的速度為V_d=6m/s，彈簧被壓縮到P點時的彈性性能E為19.6J；
（2）小物塊的初速度v₀為3m/s；
（3）若BD間距L=2.5m，為使小物體在運動過程中始終不會離開軌道，小物塊與斜面DB間的動摩擦因數(shù)的最小值為0.2．

點評 本題關鍵是明確滑塊的受力情況、運動情況和能量轉化情況，然后結合動能定理、機械能守恒定律、功能關系、牛頓第二定律和向心力公式列式求解，不難．