Question

11．有兩對(duì)正對(duì)的平行金屬板A、B和C、D，分別加上某一電壓U₁、U₂后可在板間各自形成勻強(qiáng)電場(chǎng)（不考慮各自在周圍產(chǎn)生的電場(chǎng)），A、B板傾斜放置，與水平成α角；C、D板水平放置，其中心線左端N靠近B板邊緣，兩對(duì)金屬板間距均為d，C、D板長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{3}}{2}$d，且在C、D間有水平向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．當(dāng)帶電荷量為+q、質(zhì)量為m的帶電小球，從A板左下端邊緣飛入后恰能沿水平直線穿過A、B板間，然后貼著B板右上端邊緣從N點(diǎn)再飛入C、D兩板間，又恰好可作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一段圓弧最后從D板上的右端P點(diǎn)飛出（重力加速度為g）．試求：
（1）A、B間和C、D間所加的電壓U₁、U₂的大小
（2）小球在A、B間運(yùn)動(dòng)加速度大小
（3）小球離開A、B板間時(shí)的速度和在C、D板間運(yùn)動(dòng)時(shí)間
（4）若想讓小球在進(jìn)入C、D間后能保持勻速穿過水平中線，應(yīng)調(diào)節(jié)U₂變?yōu)閁₂′=？

Answer 1

分析 （1）由平衡條件求出電勢(shì)差．
（2）應(yīng)用牛頓第二定律求出加速度．
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出粒子的速度，然后根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（4）由平衡條件可以求出電勢(shì)差．

解答 解：（1）小球在C、D間能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明重力與電場(chǎng)力平衡，洛侖茲力提供向心力，
有：q$\frac{{U}_{2}}z4ahl9j$=mg，
即：U₂=$\frac{mgd}{q}$，
小球在A、B間能沿水平直線運(yùn)動(dòng)，合力應(yīng)沿水平方向，如圖甲

有：F=$\frac{mg}{cosα}$，又：F=q$\frac{{U}_{1}}oszdjpw$，
即：U₁=$\frac{mgd}{qcosα}$；
（2）小球作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由受力圖甲知：
mgtanα=ma，解得：a=gtanα；
（3）在C、D間軌跡為圓弧，如圖乙，由幾何關(guān)系知

r²=（r-$\fracoubgjps{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$d）²，
解得：r=d，
由牛頓第二定律有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：v=$\frac{qBd}{m}$；
另由圖乙知，tanθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}d}{\fracrvch33x{2}}$=$\sqrt{3}$，
則有：θ=$\frac{π}{3}$，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{T}{6}$，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
則：t₂=$\frac{πm}{3qB}$；
（4）在豎直方向須受力平衡，即：
q$\frac{{U}_{2}′}qu893uw$=mg+qvB，
解得：U₂′=$\frac{mgd}{q}$+$\frac{q{B}^{2}sfgjrtb^{2}}{m}$；
答：（1）A、B間和C、D間所加的電壓U₁、U₂的大小分別為：$\frac{mgd}{qcosα}$、$\frac{mgd}{q}$．
（2）小球在A、B間運(yùn)動(dòng)加速度大小為：gtanα；
（3）小球離開A、B板間時(shí)的速度為：$\frac{qBd}{m}$，在C、D板間運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{πm}{3qB}$；
（4）若想讓小球在進(jìn)入C、D間后能保持勻速穿過水平中線，應(yīng)調(diào)節(jié)U₂變?yōu)閁₂′為$\frac{mgd}{q}$+$\frac{q{B}^{2}4gi8xx3^{2}}{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求電勢(shì)差、求粒子速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間、加速度問題，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用平衡條件、牛頓第二定律即可正確解題，解題時(shí)注意幾何知識(shí)的應(yīng)用．