Question

5．如圖所示，空間存在一理想足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，現(xiàn)將質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿xOy平面入射到該磁場(chǎng)中．不計(jì)粒子的重力．
（1）若粒子以一定初速度沿y軸正向入射，恰好能經(jīng)過x軸上的A（a，0）點(diǎn)，求該初速度v₀的大小．
（2）若粒子以2v₀的初速度沿某方向入射，恰好經(jīng)過A（a，0）點(diǎn)，求粒子從O點(diǎn)到A點(diǎn)的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，定出軌跡半徑，根據(jù)洛倫茲力等于向心力，列式可求出初速度v₀的大�。�
（2）根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，求出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，即可求得時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子以初速度v₀沿y軸正方向入射后，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，剛好轉(zhuǎn)過半周到達(dá)x軸上的A點(diǎn)，設(shè)此時(shí)的軌道半徑為R₁，則有：R₁=$\frac{a}{2}$a       ①
由洛倫茲力提供粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律有
  qBv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$  ②
由①②式聯(lián)立解得：v₀=$\frac{qBa}{2m}$．
（2）如圖所示，O、A兩點(diǎn)處于同一圓周上，且圓心在x=$\frac{a}{2}$的直線上，根據(jù)第一問可知：其半徑為a．
  當(dāng)給定一個(gè)初速率為2v₀時(shí)，有2個(gè)入射角，分別在第1、2象限，有：
  sinθ′=sinθ=$\frac{1}{2}$，θ=$\frac{π}{6}$
根據(jù)洛倫茲力提供向心力和周期公式，可得
 T=$\frac{2πm}{qB}$
$\frac{2π}{T}$=$\frac{α}{t}$
可知：①軌跡圓所對(duì)應(yīng)的圓心角 α=2θ=$\frac{π}{3}$
代入得：t₀=$\frac{2mθ}{qB}$=$\frac{mπ}{3qB}$
②軌跡圓所對(duì)應(yīng)的圓心角 α′=2π-2θ=$\frac{5π}{3}$
代入得：t₀=$\frac{2mπ-2mθ}{qB}$=$\frac{5mπ}{3qB}$
答：
（1）該初速度v₀的大小為$\frac{qBa}{2m}$．
（2）粒子從O點(diǎn)到A點(diǎn)的時(shí)間t為$\frac{mπ}{3qB}$或$\frac{5mπ}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵要畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，考慮問題要全面．