Question

10．如圖所示，兩根等高光滑的四分之一圓弧形軌道與一足夠長(zhǎng)水平軌道相連，圓弧的半徑為R₀、軌道間距為L(zhǎng)₁=1m，軌道電阻不計(jì)．水平軌道處在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁=1T，圓弧軌道處于圓心軸線(xiàn)上均勻向外輻射狀的磁場(chǎng)中，如圖所示．在軌道上有兩長(zhǎng)度稍大于L₁、質(zhì)量均為m=2kg、阻值均為R=0.5Ω的金屬棒a、b，金屬棒b通過(guò)跨過(guò)定滑輪的絕緣細(xì)線(xiàn)與一質(zhì)量為M=1kg、邊長(zhǎng)為L(zhǎng)₂=0.2m、電阻r=0.05Ω的正方形金屬線(xiàn)框相連．金屬棒a從軌道最高處開(kāi)始，在外力作用下以速度v₀=5m/s沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)MN處，在這一過(guò)程中金屬棒b恰好保持靜止．當(dāng)金屬棒a到達(dá)最低點(diǎn)MN處被卡住，此后金屬線(xiàn)框開(kāi)始下落，剛好能勻速進(jìn)入下方h=1m處的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₃中，B₃=$\sqrt{5}$T．已知磁場(chǎng)高度H＞L₂．忽略一切摩擦阻力，重力加速度為g=10m/s²．求：
（1）輻射磁場(chǎng)在圓弧處磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大��；
（2）從金屬線(xiàn)框開(kāi)始下落到進(jìn)入磁場(chǎng)前，金屬棒a上產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）若在線(xiàn)框完全進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)剪斷細(xì)線(xiàn)，線(xiàn)框在完全離開(kāi)磁場(chǎng)B₃時(shí)剛好又達(dá)到勻速，已知線(xiàn)框離開(kāi)磁場(chǎng)過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱為Q₁=10.875J，則磁場(chǎng)的高低H為多少．

Answer 1

分析 （1）金屬棒b做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，受拉力和安培力平衡，根據(jù)平衡條件列式；金屬棒a做切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)切割公式和安培力列式；最后聯(lián)立求解；
（2）從金屬線(xiàn)框開(kāi)始下落到進(jìn)入磁場(chǎng)前，根據(jù)能量守恒定律列式；金屬框剛好勻速進(jìn)入磁場(chǎng)中，受重力和安培力平衡，根據(jù)平衡條件、切割公式和安培力公式列式后聯(lián)立求解；
（3）從線(xiàn)框完全進(jìn)入磁場(chǎng)到完全出磁場(chǎng)過(guò)程根據(jù)能量守恒定律列式；最后勻速離開(kāi)磁場(chǎng)，根據(jù)平衡條件求解安培力，根據(jù)安培力公式、切割公式和歐姆定律求解末速度．

解答 解：（1）對(duì)金屬棒b，由受力平衡，有：Mg=B₁IL₁，
右ab金屬棒與導(dǎo)軌組成閉合回路，有：
I=$\frac{{{B_2}{L_1}{v_0}}}{2R}$，
聯(lián)立方程，代入數(shù)值解得：
B₂=2T；
（2）根據(jù)能量守恒定律，有：
$Mgh=\frac{1}{2}M{v^2}+\frac{1}{2}m{v^2}+2Q$
線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)的瞬間，由受力平衡，得：
Mg=B₁I₁L₁+B₃I₂L₂
其中：${I_1}=\frac{{{B_1}{L_1}v}}{2R}$
${I}_{2}=\frac{{B}_{3}{L}_{2}v′}{r}$，
而v′=$\sqrt{2gh}$
聯(lián)立方程，代入數(shù)值解得：
Q=2J
（3）從線(xiàn)框完全進(jìn)入磁場(chǎng)到完全出磁場(chǎng)，有：
$MgH=\frac{1}{2}Mv_1^2-\frac{1}{2}M{v^2}+{Q_1}$
在完全出磁場(chǎng)的瞬間，由受力平衡，得：
Mg=B₃I₃L₂
其中：${I_3}=\frac{{{B_3}{L_2}{v_1}}}{r}$
聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)解得：
H=1.2m
答：（1）輻射磁場(chǎng)在圓弧處磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小為2T；
（2）從金屬線(xiàn)框開(kāi)始下落到進(jìn)入磁場(chǎng)前，金屬棒a上產(chǎn)生的焦耳熱Q為2J；
（3）磁場(chǎng)的高低H為1.2m．

點(diǎn)評(píng) 本題是力電綜合問(wèn)題，關(guān)鍵是明確金屬棒、金屬框的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)能量守恒定律、安培力公式、切割公式和歐姆定律多次列式求解，不難．