Question

3．現(xiàn)有一根長為3R，勁度系數(shù)為k=$\frac{mg}{R}$的輕彈簧，其一端固定于O點，另一端系一個質(zhì)量為m的小環(huán)套在光滑豎直橢圓軌道上．且O點為橢圓的中心對稱點，長軸在豎直方向上AB=4R，短軸在水平方向上CD=3R，小環(huán)處在軌道的最低點A處，如圖所示．已知小環(huán)沿軌道運動過程中彈簧給終處于彈性限度內(nèi)，現(xiàn)給小球一水平初速度v₀使其沿軌道運動．若重力加速度為g，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 小環(huán)運動到軌道最高點處，軌道對環(huán)的作用力豎直向上
• B． 小環(huán)沿軌道由A向D的過程中速度逐漸減小
• C． 欲使小環(huán)能越過最高點B，其最小射出速度應(yīng)為4$\sqrt{gR}$
• D． 若v₀=6$\sqrt{gR}$，則小環(huán)通過最高點時軌道對環(huán)的作用力豎直向下

Answer 1

分析 根據(jù)胡克定律，結(jié)合向心力分析小球在B點的受力；根據(jù)功能關(guān)系關(guān)系小球從A到D的過程中小球的動能、速度的變化；結(jié)合機械能守恒分析小球過最高點B的條件；
結(jié)合機械能守恒先求出小球在最高點的速度，然后結(jié)合受力分析判斷出小球在最高點受到的環(huán)的作用力的方向．

解答 解：A、由題意和幾何關(guān)系可知，AO=BO=2R，CO=DO=1.5R
根據(jù)胡克定律，小球在A點與B點受到的彈力都是向外，大小：${F}_{1}=k•（3R-2R）=\frac{mg}{R}•R=mg$
由于彈簧對小球的作用力的大小與重力大小相等，方向與重力的方向相反，所以小球做圓周運動的向心力由環(huán)提供，所以環(huán)對小球的作用力的方向為豎直向下．故A錯誤；
B、由題，小球從A向D運動的過程中彈簧繼續(xù)壓縮，所以挺好的彈性勢能增大；小球向上運動的過程中重力勢能也增大，所以小球的動能一定越來越小，所以小環(huán)沿軌道由A向D的過程中速度逐漸減�。�故B正確；
C、由于BO=AO，所以小球在B點的彈性勢能等于小球在A點的彈性勢能；小球運動的過程中機械能守恒，取小球的最低點的重力勢能為0，則：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mgR$
當小球在最高點的速度恰好等于0時，小球的初速度最小，所以小球的最小初速度：${v}_{0min}=2\sqrt{gR}$
小球在A點的彈性勢能：${E}_{PA}=\frac{1}{2}k△{x}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{mg}{R}×{R}^{2}=\frac{1}{2}mgR$
小球在D點的彈性勢能：${E}_{PD}=\frac{1}{2}k△{x}_{2}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{mg}{R}×（1.5{R）}^{2}$=$\frac{9}{8}mgR$
小球恰好從A到D的過程中：$\frac{1}{2}mgR+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{9}{8}mgR+0$
所以：${v}_{0}′=\frac{1}{2}\sqrt{5gR}$＜v_0min
所以欲使小環(huán)能越過最高點B，其最小射出速度應(yīng)為2$\sqrt{gR}$．故C錯誤；
D、若v₀=6$\sqrt{gR}$，則小環(huán)通過最高點時：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mgR$
所以：$v=4\sqrt{2gR}$＞0
結(jié)合A的分析可知，軌道對環(huán)的作用力豎直向下．故D正確．
故選：BD

點評 該題涉及到的指示點較多，解答中要注意一下幾點：
1、正確的對物體進行受力分析，計算出沿半徑方向上的合外力，利用向心力公式進行列式．
2、注意臨界狀態(tài)的判斷，知道臨界狀態(tài)下受力特點和運動的特點．
3、熟練的判斷機械能守恒的條件，能利用機械能守恒進行列式求解．